2023年高考江苏卷压轴题“滚轮线运动”的研究

段石峰

(长沙市周南中学,湖南 长沙 410201)

1 原题呈现

图1 电子在复合场中运动

试题.(2023年高考江苏卷第16题)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型.Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B.质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射.入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图1中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等.不计重力及电子间相互作用.

(1) 求电场强度的大小E;

解析：(1) 入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动,必为匀速直线运动,由受力平衡方程可得

eE=eBv0,

E=Bv0.

(1)

(2) 由于电子入射速度小于v0,所以电子偏向y轴正方向,电场力做正功而洛伦兹力不做功,由动能定理可得

(3) 方法1：设电子入射速度为v,能到达纵坐标的最大值为ym,此时的速度最大为vm,由动能定理可得

(2)

由已知条件“电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等”可得

eBvm-eE=eE-eBv.

(3)

联立式(1)～(3)解得

(4)

由于电子入射速度在0

方法2：由于电场力在y轴方向,所以电子在x轴方向只受洛伦兹力的分力fx=eBvy,在x轴方向由动量定理可得

∑eBvyΔt=eBym=mvm-mv.

(5)

方法3：将电子的初速度v分解为x轴正方向的v0和x轴负方向的v0-v,则电子以分速度v0做匀速直线运动,同时以分速度v0-v做匀速圆周运动,由牛顿第二定律可得

(6)

点评：方法1直接利用题给条件“电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等”,而方法2和方法3并没有用到这个条件,说明这个已知条件是多余的.反过来讲,从方法2或方法3的角度可以得出这个条件.但题中给出这个条件,降低了思维台阶,明确指向了方法1是更直观的方法.方法2利用在某一方向仅受洛伦兹力时的动量定理,将水平速度与竖直位移联系起来了.方法3是基于电子的受力特点和运动性质,利用运动的合成与分解,将复杂的曲线运动巧妙地分解为两个简单的运动,通常叫作速度补偿法、速度构造法或配速法.

纵观近些年高考计算题中,都会给出一个多余的已知条件,以避开方法2和方法3,降低难度.例如,2008年江苏高考题中“已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的两倍”,2011年福建高考题中“这些粒子在y轴方向上的运动是简谐运动”,2013年福建高考题中“粒子速度的x分量与其所在位置的y坐标成正比,比例系数与场强大小E无关”.

2 正则动量

带电粒子在匀强磁场中若仅受洛伦兹力的作用,可将洛伦兹力f和速度v正交分解到直角坐标系Oxy中,建立分量之间的关系为

fx=qBvy,fy=qBvx,

即x轴方向的分力取决于y轴方向的分速度,y轴方向的分力取决于x轴方向的分速度.利用微元法结合动量定理可得

mΔvx=∑fxΔt=qB∑vyΔt=qBy,

mΔvy=∑fyΔt=qB∑vxΔt=qBx,

即x轴方向的速度变化取决于y轴方向的分位移,y轴方向的速度变化取决于x轴方向的分位移.现定义x轴方向和y轴方向的正则动量分别为

px=mvx-qBy=mv0x=Cx,

py=mvy-qBx=mv0y=Cy,

其中Cx和Cy为常量,即x轴方向和y轴方向的初动量.将以上两个分量式合成为矢量式

p=mv-qr×B=mv0=C,

即带电粒子在匀强磁场中若仅受洛伦兹力作用,则它的正则动量为一个常矢量,即正则动量守恒.[1]实际应用时往往写成分量式,上述方法2利用了正则动量的分量式,只需满足x轴方向仅受洛伦兹力的条件,实质是特殊的动量定理分量式.相比传统的画出实际运动轨迹的处理方法,引入正则动量概念可以简化求解此类问题的数学关系,避开了复杂的轨迹描绘和几何运算,只需进行始末状态的分析,更加简洁明晰,从宏观上直达物理问题的本质.

3 滚轮曲线

3.1 滚轮线的特点和性质

滚轮线是轮子滚出来的曲线,即轮子沿一条固定直线做纯滚动时,轮子上或与轮子固连的一点的运动轨迹,也叫作旋轮线,如图2所示是轮子边缘上一点的运动轨迹.在众多曲线中,滚轮线既不是圆也不是椭圆,而是独立于圆锥曲线之外的一种曲线.[2]从刚体平面平行运动的角度,选择圆心为基点,滚轮线运动可以看作随圆心的平动和绕圆心的转动的合成.由于圆周运动具有周期性,所以滚轮线也具有相同的周期性,其形状是一拱一拱的连续曲线.

图2 上滚轮线

如果把图2所示的轨迹称为上滚轮线,现将其绕固定直线翻转180°而颠倒过来,得到的轨迹可称为下滚轮线,如图3所示.在不引起混淆的情况下,可将它们统称为滚轮线.

图3 下滚轮线

3.2 几何法推导滚轮线方程

图4 滚轮边缘上某点运动轨迹

如图4所示,半径为R的滚轮从静止开始沿一条固定直线顺时针方向做无滑滚动,角速度为ω,以开始时滚轮边缘上的某一点为原点,沿固定直线为x轴,在滚轮所在的平面上建立直角坐标系Oxy,经过时间t,滚轮半径转过的圆心角为θ,则该点的位置坐标可表示为

x=Rθ-Rsinθ=R(ωt-sinωt),

(7)

y=R-Rcosθ=R(1-cosωt),

(8)

即为滚轮线的参数方程,轨迹形状与滚轮转动的快慢无关,轨迹方程只由滚轮半径决定.

3.3 电子运动轨迹的证明

图5 电子运动速度分析

方法1：初等方法.

如图5所示,电子的初速度为v,经过时间t运动到某点(x,y),将速度分解为vx和vy,由动量定理和动能定理可得

eBy=mvx-mv.

(9)

eEt-eBx=mvy.

(10)

(11)

联立式(9)～(11)整理可得轨迹方程为

(12)

方法2：微分方程.

如图5所示,在x轴方向和y轴方向分别由牛顿第二定律可得

解以上微分方程组并结合初始条件,可得x方向和y方向的运动学方程为[5]

(13)

(14)

3.4 电子运动特点的讨论

3.4.1 电子运动的速度特点

由式(13)(14)对时间t求导可得速度方程为

(15)

(16)

由式(15)结合三角函数的知识,可得vx的两个极值分别为v和2v0-v.由题中条件0

由式(15)(16)可知,x轴方向有匀速直线运动和简谐运动,y轴方向只有简谐运动.如果把x轴方向和y轴方向的两个简谐运动合成为匀速圆周运动,那么滚轮线运动可以看作匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动,匀速直线运动的速度为v0,匀速圆周运动的速度为v0-v.另外,由于电子在最高点与最低点所受的力都在y轴方向,根据y轴方向做简谐运动的对称性特点,所以“在最高点与在最低点所受的合力大小相等”,这正是题给的已知条件.

3.4.2 电子运动的加速度特点

由式(15)(16)对时间t求导可得加速度方程为

(17)

(18)

(19)

由式(17)(18)可知,在x轴方向和y轴方向都为简谐运动的加速度,这是因为匀速直线运动

3.4.3 两种特殊情况

(1) 当v=v0时,代入式(13)(14)可得x=v0t,y=0,即电子沿x轴正方向做匀速直线运动,这就是第一小题中简单的速度选择器模型.

(2) 假设电子的初速度为0,将v=0代入式(13)(14)可得

(20)

(21)

对比式(7)(8)(20)(21)可知,此时滚轮线是