各向异性地层中随钻地层测试压力响应数值模拟

马天寿，曹刚，彭念，田薇，王强

1.油气藏地质及开发工程全国重点实验室(西南石油大学)，四川 成都 610500 2.中国石油长庆油田分公司第十采油厂，陕西 西安 710021 3.四川航天烽火伺服控制技术有限公司，四川 成都 611130

地层压力是指地层孔隙中流体的压力，是油气钻井和开采非常重要的基础参数[1-4]。地层测试是检测地层压力最准确的方法，该方法通过将压力计和温度计放入井眼内对动态测试数据进行监测以评价地层和流体参数[5-7]。传统地层测试包括中途测试(DST)、完井测试(CT)和电缆地层测试(WFT)[8]，但这些测试只能在中完或完井后测试，测试严重滞后、耗时长、成本高，近井地层受钻井液污染严重，测试精度及流体取样纯度难以保证，而且在大斜度井和水平井等复杂井中测试器下入比较困难、黏卡风险高[9-10]。随钻地层测试克服了传统地层测试滞后严重、耗时长、成本高、风险高等问题，能更真实地反映地层实际情况，可在钻井过程中实时测得地层压力、流度、渗透率、井筒压力和温度等参数，并且可开展地层流体分析和取样，能为地层特征、钻井工况和油气藏类型的实时评价提供可靠依据[8-13]。随钻地层测试是电缆地层测试与随钻测井相结合的一种前沿技术，将随钻地层测试器安装在井底钻具组合中，在钻井作业暂停期间进行地层测试，进而评价动态地层参数。最早的随钻地层器主要为双封隔器结构，由于钻柱旋转常常导致封隔器摩损，时常因为无法有效座封而测试失败，使其应用受到限制。此后，国外油服公司开发了测试时间更短、密封可靠性更高的探头式随钻地层测试器。例如，哈里伯顿公司的Geo-Tap系统、贝克休斯公司的Tes-Trak系统和FAS-Trak系统、斯伦贝谢公司的Stetho-Scope系统、中海油田服务公司的随钻地层测试仪(IFPT)[8-13]，这些随钻地层测试器在地层压力测试、地层流度评估、流体类型识别、油气藏类型评估等方面发挥了重要作用，已经在油气钻井和开采领域得到了广泛应用，尤其是在海洋油气钻井。然而，随着油气储层类型复杂化，钻遇地层的地质特征愈发复杂，地层的非均质性和各向异性特征越发显著，使得随钻地层测试技术的应用面临一系列问题与挑战，其中，各向异性地层条件下的测试压力响应规律和解释方法是当前亟待解决的问题之一[14-15]，地层渗透率各向异性会影响测试过程中的压力响应行为，若忽略地层各向异性的影响，势必会影响地层参数的解释精度。为此，有必要针对各向异性地层条件下的随钻地层测试压力响应行为开展研究。

随钻地层测试压力响应行为是地层参数解释和反演的基础，国内外针对随钻地层测试压力响应行为开展了大量研究工作。FINNERAN等[16]基于单相球形流假设，建立了随钻地层测试压力响应解析模型；BANERJEE等[17]进一步考虑增压效应的影响，建立了随钻地层测试压力响应修正模型；LEE等[18]开展了随钻地层测试油水两相渗流有限元模拟，并对比了实验和数值模拟结果；DI等[19]考虑泥饼质量和增压效应，建立了随钻地层测试油水两相渗流有限元模型；MA等[20]考虑存储效应、增压效应、表皮效应、各向异性等因素影响，建立了随钻地层测试压力响应修正解析模型；PENG等[21]考虑井壁泥饼、增压效应、表皮效应、存储效应和探头几何尺寸等因素影响，建立了井周增压条件下的随钻地层测试压力响应有限差分模型，并提出了修正增压影响的原始孔隙压力快速反演方法；杨决算和高翔[22]基于不稳定试井原理，建立了随钻地层测试单相球形渗流模型；马天寿和陈平[23]基于随钻地层测试原理和渗流理论，建立了随钻地层测试压力响应有限差分模型，通过物模实验验证了模型准确性。但是，这些研究均针对的是各向同性地层，均未考虑地层各向异性、地层产状的影响，而且基本上都忽略了钻井液动态侵入过程的影响。

对于各向异性的影响，国内外学者主要针对传统地层测试进行了一些研究。例如，WAID等[24]考虑地层渗透率各向异性、地层厚度、水平垂直边界的影响，建立了电缆地层测试压力响应三维有限元模型。XU等[25]考虑管线存储效应、表皮效应、地层各向异性、增压效应以及井眼几何形状的影响，利用有限差分法建立了电缆地层测试器压力响应三维数值模拟模型。PROETT等[26]利用双探头地层测试器确定了水平和垂直渗透率，建立了一种考虑地层各向异性、管线存储效应和表皮因子的新型球形渗流模型。CHIN[27]考虑管线存储效应及表皮效应，设计一套融合正反演方法的地层测试分析工具，用于电缆和随钻地层测试硬件设计和压力瞬态解释。易绍国等[28]采用有限元方法给出了各向异性地层电缆测试压力响应数值解。谷宁等[29]建立了渗透率各向异性地层中电缆地层测试器响应的数学模型，并利用三维有限元方法分析了压力响应特征。周波等[30]考虑各向异性和管线存储体积的影响，建立了电缆地层测试三维有限元模型。周艳敏等[31]考虑地层油水两相渗流和渗透率各向异性影响，建立了各向异性地层中电缆地层测试压力响应三维有限元模型。关富佳等[32]假设水平渗透率大于垂向渗透率，分析了各向异性储层中地层测试渗流形态，建立了用于各向异性地层的单探头电缆地层测试椭球形流动压降解释模型。这些研究尽管考虑了各向异性的影响，但大都针对电缆地层测试器进行研究，鲜有针对随钻地层测试的研究。

随钻地层测试是地层钻开一段时间后测试，此时钻井液侵入在低渗地层中影响非常显著[33-34]，加之地层渗透率各向异性影响，随钻地层测试压力响应规律认识尚不完全清楚，不利于地层参数的准确解释和高效反演。为了明确钻井液动态侵入及地层渗透率各向异性对随钻地层测试压力响应行为的影响，笔者基于各向异性多孔介质渗流理论，建立钻井液侵入条件下横观各向同性地层中随钻地层测试压力响应数学模型，采用有限元方法对模型进行求解，通过与经典解析解对比进行模型验证，并分析渗透率各向异性、地层产状、抽吸间歇时间、抽吸探头半径等因素对随钻地层测试压力响应的影响规律。研究结果可为随钻地层测试结果解释和参数反演提供理论依据。

1 随钻地层测试压力响应数学模型

1.1 问题描述及假设条件

图1 探头式随钻地层测试器工作原理图[23]Fig.1 Schematic diagram of the probe formation tester while drilling[23]

随钻地层测试器工作原理如图1所示，测试器内安装有测试探头、抽吸系统、抽吸管线和压力计，推靠测试探头刺穿井壁泥饼并完成坐封，抽吸系统抽吸地层流体产生压降，停止抽吸后探头附近压力逐渐恢复至原始地层压力，进而通过记录的测试压力响应曲线评价地层动态参数[20-21,23]。因此，地层孔隙压力、渗透率、流度等动态参数的解释高度依赖抽吸阶段和压力恢复阶段的测试压力响应曲线。此外，由于钻开地层进行地层压力测试前，钻井液滤液会侵入地层造成井周增压[35-37]，同时，各向异性地层的渗流并不满足经典的球形渗流规律，这些都会直接影响随钻地层测试压力响应规律，进而影响地层动态参数的解释和反演精度。为了模拟各向异性地层中随钻地层测试压力响应规律，建立各向异性地层条件下的随钻地层测试压力响应数学模型，为了简化建模过程，作出假设[20-21]：① 地层为均质、连续的各向异性多孔介质；②地层流体为单相微可压缩流体，且满足达西渗流定律；③井筒与地层之间过平衡压差恒定不变；④忽略泥饼各向异性对地层压力的影响；⑤忽略应力敏感、热效应及化学效应的影响。

图2 各向异性地层与井眼直角坐标关系[40]Fig.2 Cartesian coordinates relationship between anisotropic formation and borehole[40]

1.2 渗透率各向异性描述

对于各向异性地层，当坐标轴与渗透率主值方向重合时，渗透率主值张量可表示为[38-39]：

(1)

式中：kx为xw方向的渗透率主值，mD；ky为yw方向的渗透率主值，mD；kz为zw方向的渗透率主值，mD；k为渗透率主值张量。

对于横观各向同性地层，如图2所示，假设地层横观各向同性面的倾角为αw、倾向为βw，而横观各向同性面内各个方向渗透率相同，但纵向zw方向的渗透率不同，即kx=ky=kh、kz=kv[23,34]。将其带入式(1)，并利用转轴公式可得井眼直角坐标下的渗透率张量：

(2)

其中：

(3)

式中：kh为地层横观各向同性面内的渗透率主值，mD；kv为垂直于横观各向同性面方向的渗透率主值，mD；k′为井眼直角坐标下的渗透率张量；kxx、kyy、kzz、kxy、kxz、kyz、kyx、kzx、kzy为渗透率分量，mD；αw为地层倾角，(°)；βw为地层倾向，(°)。

根据式(2)、(3)，可以推导出井眼直角坐标下的渗透率分量表达式为：

(4)

1.3 测试压力响应数学模型

1)渗流方程。由于地层流体满足单相达西渗流定律，则地层流体运动可由广义达西方程表示[23]：

(5)

在各向异性地层中，广义达西方程可表示为分量的形式：

(6)

式中：vx、vy、vz为达西渗流在X、Y、Z轴的速度分量。

2)流体状态方程。由于地层流体为单相微可压缩流体，则根据质量守恒定律可得：

ρ=ρ0exp[Cf(p-p0)]

(7)

式中：ρ为地层条件下流体密度，kg/m3；ρ0为常压p0条件下流体密度，kg/m3；p0为常压，MPa；Cf为流体压缩系数，MPa-1。

3)连续性方程。地层孔隙流体渗流满足质量守恒定律，考虑流体微可压缩性后，流体在多孔隙介质中渗流的质量守恒方程为[23]：

(8)

式中：t为时间，s；φ为地层孔隙度，%。

将式(5)～(7)带入式(8)，并忽略高阶无穷小量，可得各向异性地层中随钻地层测试压力响应微分方程：

(9)

钻井过程中，钻井液在压差作用下形成泥饼。泥饼动态变化过程和钻井液动态侵入过程会对井周地层孔隙压力产生影响。由于随钻地层测试压力波及范围小，因此，还需考虑泥饼动态变化对井周地层孔隙压力的影响。假设泥饼中流体渗流过程依旧满足单相达西渗流定律，则泥饼中的流体质量守恒方程为：

(10)

式中：φmc为泥饼孔隙度，%；vfc为泥饼中的流体流速，m/s。

由于泥饼-地层系统是一个几何内边界随时变化的动态系统，泥饼流体渗流速度不能直接用式(5)计算。笔者采用FENG等[41]建立的“等效泥饼渗透率”概念来计算泥饼中流体的渗流速度：

(11)

其中，等效泥饼渗透率的表达式：

(12)

k1(t)和w1(t)分别为[42]：

k1(t)=0.000 5(1+3e-0.000 5t)w1(t)=3(1-0.25e-0.002t-0.75e-0.000 1t)

(13)

式中：ke(t)为等效泥饼渗透率，m2；k1(t)为动态泥饼渗透率，m2；rw为井眼半径，m；wo为泥饼厚度，m；w1(t)为动态泥饼厚度，m。

泥饼中的流体压缩系数定义为：

(14)

式中：V为泥饼中的流体体积，m3；pmc为泥饼中的流体压力，MPa。

根据流体质量和流体密度的关系，式(14)可表示为：

(15)

将式(15)代入式(10)中，假设泥饼流体密度和孔隙度为定值，可得泥饼中渗流场控制方程为：

(16)

1.4 数学模型定解条件

该数学模型的求解分为2个阶段：钻井液动态侵入阶段和随钻地层测试阶段。

1.4.1 钻井液动态侵入阶段

钻开地层之后，井筒内钻井液会侵入地层，在钻开地层的初始时刻，求解域内的压力为原始地层压力，因此初始条件为：

p(r，θ，z，t=0)=pi

(17)

在随钻地层测试器抽吸地层流体之前，井壁处压力恒为井筒压力，地层无穷远处为原始地层压力，因此边界条件为：

p(r=rw，θ，z，t)=pw

(18)

p(r→∞，θ，z，t)=pi

(19)

式中：r为半径，cm；rw为井壁半径，cm；θ为井周角，(°)；pi为原始地层压力，MPa；pw为井筒压力，MPa。

因此，联立式(4)、(6)、(16)～(19)可以求解出各向异性地层中随钻地层测试前的井周地层压力分布规律。

1.4.2 随钻地层测试阶段

在随钻地层测试阶段，测试器探头刺入泥饼贴靠井壁以抽吸速率q(t)抽吸地层流体，抽吸结束后等待压力恢复，假设开始抽吸时刻为t0。此时，随钻地层测试阶段的初始条件为钻井液动态侵入t0时间后的井周压力，即：

p=p(r，θ，z，t=t0)

(20)

在抽吸地层流体的过程中，由于测试器具有一定的存储体积，在考虑管线的存储效应后，可得到管线中的流体体积变化量为：

q(t)=qf+qc

(21)

其中：

(22)

(23)

因此，测试过程中地层流体流经探头处的实际渗流速度可表示为：

(24)

式中：t0为开始抽吸的时刻，s；qc为管线存储引起的流体体积变化量，cm3/s；qf为抽吸探头处实际抽吸的地层流体，cm3/s；Vs为管线存储体积，cm3；rs为测试器探头半径，cm；vp为地层流体流经探头处的实际渗流速度，cm/s；q(t)为设计抽吸速率，cm3/s。

因此，联立式(4)、(6)、(16)～(20)、(24)便可求出各向异性地层中开展随钻地层测试时探头处的压力响应。

2 有限元模型与模型验证

2.1 有限元模型建立及求解

在采用COMSOL开展有限元数值模拟研究时，首先采用参数化建模方法，在全局定义接口中定义和设置基础参数，所采用的基础参数如表1所示，之后建立一个模型尺寸为2 m×2 m×2 m的三维几何体，并根据基础参数设置井眼尺寸、泥饼层厚度、探头半径等参数，设置完成后的几何模型如图3(a)所示；进一步根据所建的随钻地层测试压力响应数学模型，在软件中添加相应的物理场接口，并设置相应的初始条件和边界条件；之后采用Delaunay网格对整个求解域进行网格剖分，为了保证求解精度在井壁和探头处作了网格细化加密处理，剖分后的网格如图3(b)所示；最后选择瞬态求解器并设置好求解时间步长对整个模型进行求解，以获得测试前的井周孔隙压力分布规律和测试过程中的随钻地层测试压力响应行为。

表1 基础参数数据

2.2 模型验证

为了保证模型建立及求解过程的准确性，通过将各向异性渗透率退化为各向同性渗透率的方式，按照上述建模过程和步骤模拟了各向同性条件下随钻地层测试时的压力响应规律，模拟结果与经典解析模型(各向同性)计算结果对比如图4所示。可以发现，通过有限元方法模拟得到的地层压力响应数值解和解析解相符，最大误差仅为3.17%。因此，可利用本文建立的数学模型开展各向异性渗透率地层随钻地层测试压力响应行为研究。

3 数值模拟结果分析

图3 随钻地层测试三维有限元模型Fig.3 3D finite element model of formation testing while drilling

图4 有限元模型与解析模型对比图Fig.4 Comparison between finite element model and analytical model

模拟得到了地层渗透率各向同性(kv=kh=0.5 mD)和各向异性(kv=0.5 mD、kh=0.1 mD)影响条件下的两种基本压力响应数值模拟曲线和等压面，结果如图5和图6所示，可以看出：①两种情况下的压力响应曲线均分为抽吸前阶段(AC或A′C′)、抽吸压降阶段(CD或C′D′)、压力恢复阶段(DF或D′F′)三个阶段。②在抽吸前阶段，钻开地层的初期，由于井壁尚未形成有效泥饼，井筒钻井液迅速侵入地层，导致井壁处孔隙压力迅速增压至井筒压力(即AB或A′B′)，之后，由于井壁泥饼的形成，钻井液无法自由侵入地层，此时瞬时侵入地层的流体逐渐向近井壁地层深部流动，使得井壁处瞬时增压的孔隙压力逐渐耗散(即BC或B′C′)；对比两种地层状态下的抽吸前增压阶段可以发现各向异性地层的增压值和压降速率均小于各向同性地层。③在抽吸压降阶段，地层压力快速下降，但由于增压效应的影响，各向异性地层压降初始压力值和压降值均大于各向同性压降初始压力值和压降值。④在压力恢复阶段，压力响应值不会直接恢复到原始地层压力，而是先升高后降低，恢复后的最大压力高于原始孔隙压力。各向异性地层压力恢复速率小于各向同性地层压力恢复速率，且各向异性地层压力恢复时间相比各向同性地层要更长。

图5 两种情况下的压力响应结果Fig.5 Pressure response results in two cases

图6 不同时间等压面云图Fig.6 Isobaric surface cloud images at different times

4 随钻地层测试压力响应影响因素分析

在实际测试过程中，随钻地层测试压力响应行为受多种因素的影响，为了明确各向异性渗透率地层中的随钻地层测试压力响应特征，分析了不同渗透率各向异性比、地层产状、抽吸间歇时间和抽吸探头半径下的随钻地层测试压力响应行为。

4.1 渗透率各向异性比

图7 不同η值对压力响应的影响Fig.7 Effect of different η values on pressure response

图8 抽吸结束时η值对等压面的影响结果Fig.8 The effect of the value of η on the pressure surface at the end of suction

图9 不同地层产状对压力响应的影响结果Fig.9 Influence of different formation occurrence on pressure response

图10 抽吸结束时地层产状对等压面的影响结果Fig.10 Effect of formation position on pressure surface at the end of suction

4.2 地层产状

为了阐明各向异性(kv=0.5 mD、kh=0.1 mD)条件下地层产状对随钻地层测试压力响应的影响，分别计算了不同αw(0°、30°、60°、90°)和不同βw(0°、30°、60°、90°)情况下的随钻地层测试压力响应行为，计算结果如图9和图10所示。可以看出，地层产状对压力响应结果影响比较显著，主要表现在抽吸前阶段、抽吸阶段以及压力恢复阶段。在抽吸前阶段，随αw和βw的增大，探头压降速率也增大。整体来讲，不同βw引起的增压值小于不同αw引起的增压值，不同βw引起的压降速率大于αw引起的压降速率。在抽吸压降阶段，随αw和βw的增大，压力响应初始值和压降值均呈减小趋势，αw在0°、30°、60°、90°情况下的压降压力分别为6.68、6.63、6.57、6.46 MPa，βw在0°、30°、60°、90°情况下的压降压力分别为6.68、6.67、6.56、6.57 MPa，对比两种状态下的压降压力值可以看出，其压力值相差较小。但在抽吸结束时，不同地层产状对应的地层等压面表现出差异性，当地层产状发生改变时，地层压力波形状由近球状变为椭球状。这意味着地层产状对抽吸压降阶段的压降值影响程度较低，对压力波及形状影响显著。地层在压力恢复阶段，由于增压响应的影响，压力先升高后降低，压力恢复前期，随αw和βw的增大，压力增长速率也随之增大。在压力恢复后期，随αw和βw增大，地层流体越容易流至测试探头，压力恢复速率较快，恢复的压力值越接近原始地层压力值。

4.3 抽吸间歇时间

图11 不同抽吸间歇时间对压力响应的影响结果Fig.11 Effect of different suction interval time on pressure response

图12 不同抽吸间歇时间对等压面的影响结果Fig.12 The influence of different suction intervals on pressure surface

图13 不同探头半径对压力响应的影响结果Fig.13 Influence of different probe radii on pressure response

由于测试工具通常安装在钻铤上，因此当地层钻开后并不能立即开展测试，需要间隔一段时间进行测试，该间隔时间可称为抽吸间歇时间。在这段时间内，井筒流体会侵入地层导致井周增压，进而影响随钻地层测试压力响应结果。为了分析抽吸间歇时间对各向异性地层随钻地层测试的影响，计算了在kh=0.1 mD、kv= 0.5 mD条件下抽吸间歇时间t分别为600、900、1 200、1 500 s时的压力响应行为，计算结果如图11和图12所示。抽吸间歇时间对压力响应结果影响比较显著，主要体现在抽吸压降阶段和压力恢复阶段。在抽吸压降阶段，抽吸间隔时间越小，测试初始压力越大，不同抽吸间隔时间下压力响应初始值分别为21.81、21.43、21.24、21.11 MPa。在抽吸结束时，压力恢复阶段，压力不能直接恢复到原始地层压力，不同间歇时间下的最大恢复压力分别为20.29、20.28、20.20、20.03 MPa，抽吸间隔时间越小，压力恢复速率越快。

4.4 抽吸探头半径

图14 抽吸结束时探头半径对等压面的影响结果Fig.14 The influence of probe radius on the isobaric surface at the end of suction

测试探头在抽吸过程中是地层流体流经的主要通道，其过流面积对压力响应有明显的影响，为了明确探头半径对各向异性地层随钻地层测试的影响，分析了kh=0.1 mD、kv=0.5 mD条件下探头半径rs分别为0.015、0.020、0.025、0.030 m时的压力响应行为，计算结果如图13和图14所示。可以看出，不同探头半径对压力响应曲线的影响比较显著，主要体现在抽吸压降阶段和压力恢复阶段。在抽吸压降阶段，压降随探头半径的增大而减小。不同探头半径下的最大压降压力分别为5.45、5.03、4.57、4.10 MPa。抽吸结束时，随着探头半径增大，地层测试压力波及范围也随之扩大，井周增压效应减弱。在压力恢复阶段，压力响应不能直接恢复到原始地层压力，而是先升高后降低，且压力恢复速率随探头半径的增大而增大，探头半径越大，压力恢复时间越短，不同探头半径下的最大恢复压力分别为20.28、20.31、20.33、20.35 MPa。

5 结论

考虑地层渗透率各向异性，基于质量守恒定律建立了各向异性地层中随钻地层测试压力响应数学模型，通过有限元方法研究了不同渗透率各向异性比、地层产状、抽吸间歇时间和抽吸探头半径下的压力响应行为。

1)在钻井液动态侵入条件下，井周会出现增压现象，且地层渗透率越低，井周增压越严重，在井壁泥饼封隔作用下，井周增压值逐渐减小。

2)当井周地层增压后，开展地层流体抽吸时，随钻地层测试压力响应初始值会高于原始地层压力，在压力恢复阶段，压力响应不会直接恢复到原始地层压力，而是先上升后下降。

3)地层渗透率各向异性比值对压力响应结果影响非常显著，在压降阶段，渗透率各向异性比值越小，压降越大，在压力恢复阶段，渗透率各向异性比值越大，压力恢复速率越快。

4)在渗透率各向异性地层开展随钻地层测试时，地层倾角和倾向都会影响压力响应行为，在抽吸压降阶段，随αw和βw的增大，压力响应初始值和压降值均呈减小趋势，在压力恢复阶段，随αw和βw的增大，压力增长速率变大。

5)抽吸间隔时间和抽吸探头半径也对压力响应行为有影响，抽吸间隔时间越小，测试初始压力越大；在抽吸压降阶段，压降随探头半径的增大而减小，在压力恢复阶段，压力恢复速率随探头半径增大而增大。