构建函数模型 巧解最值问题

郭永胜

在解决某些最值问题时，我们可以通过构造二次函数模型，依据二次函数性质进行求解。现将这类最值问题归纳整理如下，希望对同学们解决此类问题有所帮助。

一、求代数式的最值

例1 已知实数m、n满足n-m=1，则代数式m2+2n-6m+7的最小值是 。

【分析】n-m=1变形可得n=m+1，替换所求代数式中的n，得到关于m的二次多项式。

解：令y=m2+2n-6m+7。

∵n-m=1，∴n=m+1。

∴y=m2+2n-6m+7=m2+2（m+1）-6m+7=m2+2m+2-6m+7=m2-4m+4+5=（m-2）2+5。

∵此抛物线开口向上，∴当m=2时，y取最小值，最小值为5。

变式 已知实数a、b满足a-b2=4，则代数式a2-3b2+a-14的最小值是。

【分析】a-b2=4变形得到b2=a-4，替换所求代数式中的b2，得到关于a的二次多项式。但要注意b2=a-4≥0。

解：令y=a2-3b2+a-14。

∵a-b2=4，∴b2=a-4。

∴y=a2-3（a-4）+a-14=a2-3a+12+a-14=a2-2a+1-3=（a-1）2-3。

此抛物线开口向上，对称轴是直线a=1。又b2=a-4≥0，即a≥4，∴当a≥4时，y随着a的增大而增大。∴当a=4时，y取最小值为6。

【反思】以上问题属于由已知等式求未知代数式的最值。每个题目中含有两个字母，类比解方程组的“代入消元法”将所求代数式变为只含有一个字母的二次多项式。同学们要注意，我们必须先明确字母的取值范围，再结合二次函数性质准确求值。

二、求几何图形的最值

例2 如图1，正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN，则CN的最大值是。

【分析】由图可知，点N随着点M的运动而运动，CN的长度随之改变。设BM=x，用含x的代数式表示CN，将CN看作关于x的二次函数。

解：设BM=x，则MC=4-x。

根据“一线三等角”易证△ABM∽△MCN。

∴[ABMC]=[BMCN]，即[44-x]=[xCN]。

解得CN=[x（4-x）4]。

∴CN=[x（4-x）4]=[-14]（x2-4x）=[-14]（x-2）2+1。

∵[-14]＜0，∴抛物线开口向下。

∴当x=2時，CN取最大值，最大值为1。

变式 如图2，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC=8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值是。

【分析】由图可知，求△DEF的面积就是求边DE的长度及DE边上的高。边DE的高随DE长度的变化而变化，设DE=a，用含a的代数式表示DE上的高，则△DEF的面积可看作关于a的二次函数。

解：如图3，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交DE于点N，则AN⊥DE。

设DE=a。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。

∴[DEBC]=[ANAM]，即[a8]=[AN6]。

∴AN=[34]a。∴MN=6[-34]a。

∴S△DEF=[12]×DE×MN=[12]a（6[-34]a）

=[-38]a2+3a=[-38]（a-4）2+6。

∵[-38]＜0，∴抛物线开口向下。

∴当a=4时，S有最大值6。

【反思】以上问题属于几何图形中常见的求线段、面积最值的题目。解题时常利用全等三角形的对应边相等、相似三角形的对应边成比例、勾股定理、面积公式、三角函数等知识建立各个量之间的关系，再设未知数进行“量化”，得到相应的二次函数。

（作者单位：江苏省南京市竹山中学湖东路校区）