巧用类比和变式探究解决圆锥曲线问题

◎ 海南省陵水黎族自治县陵水中学 赵李三 陈 媛

类比和变式探究是提高数学教学效率的重要手段，圆锥曲线是高中解析几何的重要内容，也是高考的重要内容。圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线。椭圆作为重点内容，要注重强调它的研究典型示范作用。教学实践中，通过“定义变式”“标准方程变式”“几何性质变式”“例题与习题变式”等进行探究，让学生解决椭圆定义、标准方程及其几何性质问题。再通过巧用类比和变式探究，解决圆锥曲线定义、标准方程与几何性质问题；在圆锥曲线教学中，教师应充分重视类比和变式探究，通过类比和变式例题、习题、高考题，有利于运用圆锥曲线知识与方法解决问题，提升学生的数学核心素养。

一、类比和变式探究有利于解决圆锥曲线定义、标准方程与性质问题

在探究抛物线的定义时，类比椭圆与双曲线的定义，让学生思考：如果动点M 到定点F 的距离与M 到定直线l 的距离之比为k，当0＜k＜1时，点M 的轨迹是什么？[椭圆（图1）]；当k＞1时，点M 的轨迹是什么？[双曲线（图2）]，当k=1时，即动点M 到定点F 的距离与M 到定直线l 的距离相等时，点M 的轨迹是什么？从而探究得出抛物线（图3）的概念。类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，让学生探究抛物线的标准方程。学生建立坐标系，探究得出（图3），在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系得到不同形式的标准方程，然后学生变式探究抛物线的标准方程的不同形式填表完成四种情形。在探究抛物线的焦点几何性质时，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，探究得出（图3）的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，其他情形的方程变式可得几何性质。这样有效构建圆锥曲线的定义，标准方程与几何性质的良好知识结构，有利于理解掌握圆锥曲线的知识与方法。

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二、类比和变式例题、习题、高考题进行探究，有利于运用圆锥曲线知识与方法解决问题，提升学生的数学核心素养

高中数学教材中的例题、习题蕴含着丰富的知识点、思想方法和解题技巧，有些高考数学题来源于例题、习题的改编，为此，教学中让学生在吃透课本例题与习题的基础上类比例题与习题，引导学生抓住往年典型的高考题目进行研究，探索题目的条件及其内在联系，通过对椭圆的例题与习题的类比，探究解决双曲线与抛物线的例题与习题，通过“条件变式、问题变式、条件与问题变式”等进行探究，运用圆锥曲线知识与方法解决圆锥曲线问题，有利于提升学生的数学核心素养。

1.类比与变式探究解决圆锥曲线的方程、轨迹、离心率问题

问题1：(习题) 如果点M( x,y)在运动过程中，总满足关系式则点M 的轨迹是什么曲线？写出它的方程。

启发学生观察等式左边的式子联想到两点距离公式，根据椭圆定义得到椭圆。

在学习求双曲线、抛物线的标准方程时，类比求椭圆标准方程与离心率的解法，解决双曲线、抛物线的标准方程与离心率问题。问题2：m ,、 n为何值时，方程表示下列曲线？（1）椭圆；（2）双曲线。

通过变式探究解决圆锥曲线的定义与方程问题，加深理解掌握圆锥曲线的定义与方程，提升学生数学核心素养。

总之，研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一致的，可以通过巧用类比和变式探究的方法来解决圆锥曲线的问题，让学生掌握坐标法与数形结合，提升学生直观想象、抽象概括、逻辑推理、数学运算等素养。