基于双元变换的一类反常积分问题的计算

朱锦涵，彭丽，周珏良，何郁波

基于双元变换的一类反常积分问题的计算

朱锦涵1，彭丽2，周珏良1，何郁波1

（1. 怀化学院 数学与计算科学学院，湖南 怀化 418000；2. 岳阳县第一中学集英学校，湖南 岳阳 414199）

高次有理分式；双元变换；组合计算法

反常积分是指被积函数在积分区间上无界、积分区间无限两种特殊定积分的统称，也称为广义积分，欧拉积分就是一类极其重要的反常积分．反常积分在工程控制及概率论等领域有广泛的应用[1-8]．

关于反常积分的计算，与正常积分的计算不同之处在于对反常积分的收敛性判别．在计算一个反常积分之前应当先观察它是否收敛，如果该反常积分是发散的，就不必进行下一步的计算了．反常积分是定积分与函数极限的结合，因此定积分计算的公式与技巧都能用于反常积分的收敛性判别与计算．关于反常积分的敛散性判别已有相应的研究成果[9-10]，但在已证明其收敛的情况下计算积分值相对来说较为困难，因此目前有研究考虑反常积分的数值计算[11-12]．

本文针对反常积分

提出双元变换的计算方法，获得此类积分的计算公式，并利用所得公式计算二类反常积分．

1 主要结果及证明

针对式（2）的计算，可以引入双元变换

从而由定理1的结论可得

2 应用实例

[1] 管光华，朱哲立，王康．含多分水口的渠道广义积分时滞（ID）控制建模及验证[J]．水利学报，2022，53（5）：598-607．

[2] 付光明，彭玉丹，安晨，等．Winkler地基上各向异性薄板弯曲的精确解-广义积分变换解[J]．计算力学学报，2020，37（1）：92-97．

[3] 史彦．广义积分在谐波电流检测中的应用[J]．赤峰学院学报（自然科学版），2018，34（8）：23-25．

[4] 郭德龙，周永权．基于进化策略的广义积分计算方法研究[J]．计算机工程与设计，2008（19）：5026-5028．

[5] 罗凌霄．根据量子力学推出的一个反常积分公式[J]．西南民族大学学报（自然科学版），2004（4）：488-489．

[6] 丁李．几种重要概率分布在高等数学解题中的应用[J]．阴山学刊（自然科学版），2018，32（4）：78-80．

[7] 尚云，邢建民．无穷区间反常积分中值定理的推广[J]．大学数学，2020，36（1）：95-99．

[8] 焦圣华，韩成茂．一类非负函数无穷积分收敛性的刻画[J]．大学数学，2020，36（2）：95-99．

[9] 李永红，李玲．一道广义积分问题求解方法的研究[J]．高师理科学刊，2013，33（5）：83-85，105．

[10] 王庆东．一种判定含参量无穷限反常积分非一致收敛的方法[J]．高师理科学刊，2016，36（1）：15-19．

[11] 瞿波．广义积分的应用：分数布朗运动的数值逼近法[J]．高师理科学刊，2018，38（4）：45-50．

[12] 邵留洋，王颖敏．关于广义积分的数值计算的一点注记[J]．高师理科学刊，2015，35（1）：70．

Calculation of a class of abnormal integral problems based on bivariate transformation

ZHU Jinhan1，PENG Li2，ZHOU Jueliang1，HE Yubo1

（1. School of Mathematics and Computer Science，Huaihua University，Huaihua 418000，China；2. Jiying School of Yueyang County No.1 Middle School，Yueyang 414199，China）

high-order rational fractions；bivariate transformation；combination calculation method

O172.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.005

1007-9831（2024）01-0018-05

2023-05-28

湖南省自然科学基金面上项目（2022JJ30463）；湖南省教育厅重点项目（22A0540）；湖南省教改项目（HNJG-2020-0857）；湖南省大学生创新训练项目（S202110548050）；怀化学院教学改革项目（怀院发[2021]69号）

朱锦涵（2002-），男，湖南长沙人，在读本科生．E-mail：yubmath@163.com

何郁波（1979-），男，湖南岳阳人，教授，博士，从事微分方程和数学分析研究．E-mail：heyinprc@hhtc.edu.cn