共振激励和重力作用下一维水平弦垂直振动驻波理论与实验研究

蔡为睿,李智超,沈 韩,2,王 猛,2,方奕忠,2

(1.中山大学 物理学院,广东 广州 510275;2. 中山大学 物理学国家级实验教学示范中心,广东 广州 510275)

共振现象在自然界广泛存在,在工程应用中有利也有弊. 在众多振动共振现象中,简谐振动共振作为最基本的共振模式,在理论上和应用中均具有重要的研究意义. 对于均匀柔软弹性弦的横向小振动方程有大量的理论研究和介绍[1-8]. 文献[9,10]对一维弦的横向自由振动和受迫振动作了深入的理论研究. 文献[11]讨论了弦的横振动, 证明了当弦的横振幅与波长之比为常量时,即使波的振幅较大,其波速也近似是个常量. 文献[12]研究了两端固定弦驻波的进动, 得到了进动速度的依赖性及进动频率在椭圆半长轴的修正. 文献[13]利用幅频公式研究了弦大振幅横向振动的近似解,改进了幅频公式的最大、最小近似. 文献[14]用变分迭代法和哈密顿近似法研究了常张力易弯曲弦大振幅横振动的确定解,并与变分近似及龙格-库塔四阶方法进行比较,符合得很好. 文献[15]在不考虑重力的情况下,用非齐次常微分方程的通解等于它的一个特解加上与其相应的齐次方程的通解[16]的办法求解了共振频率激励下一端固定、一端连接振源时弦的横向振动问题的解析解. 文献[17]通过静力称衡法和拉伸法利用驻波测量了弦线的直径及其杨氏模量,得到与实际较为接近的结果. 文献[18]用旋转矢量和几何图形的方法,把驻波这个物理现象较好地用到了直观教学上. 文献[19]利用已有实验数据和弦振动方程模拟计算了存在阻尼时,弦振动驻波的形成过程以及空气阻力、弦长度对驻波的影响.

本文将研究考虑重力影响下的一维水平弦的垂直振动模型,与实际应用情况更为吻合.分析共振时的驻波现象,探讨产生该现象的原因,由此可推广到复杂系统的共振研究.与文献[15,16]中所用的求解非齐次常微分方程的方法不同,本文用本征函数展开和拉普拉斯变换法求解重力作用下一端固定、另一端以小振幅作简谐振动时一维水平弦的垂直振动波动方程的定解问题,求出解析解,并进行实验检验.求解得到共振形成驻波解的条件,以及弦传播简谐波的波速a的表达式.实验上连续调节弦作简谐振动的频率让其共振形成驻波,测量出此时弦的张力T,记下波腹个数n和频率f,测量出相邻两波节之间的距离再乘以2得到波长λ, 从而在实验上求出波速a=λf;再代入弦的张力T,即得弦的质量线密度ρ,并与实测线密度值进行比较,对理论进行检验.

1 理论模型及求解

(1)

图1 一小段弦竖向振动受力分析示意图

对于小振动,可设θ角很小,T1=T2=T,方程(1)成为

T(tanθ2-tanθ1)-ρΔxg=

(2)

(3)

(4)

(5)

方程(4)即为外力作用下弦的横振动方程,a为波速.体现外力作用的项为重力加速度的负值,即-g,为弦单位质量所受的重力.

假设弦的左端点(x=0)固定,右端点(x=l)接一振源(振动发生器),振源以振幅A(A<<1)作严格的垂直方向简谐振动Asinωt,设绳子的初位移和初速度均为零,则得定解问题:

(6)

u|x=0=0,u|x=l=Asinωt,(t≥0)

(7)

(8)

由于边界条件(7)非齐次,需要将边界条件齐次化,

(9)

得v=v(x,t)满足的定解问题为

(10)

v|x=0=0,v|x=l=0, (t≥0)

(11)

(12)

(13)

该本征函数族是完备的.于是,定解问题式(10)—(12)可以用本征函数展开法来求解.令

(14)

同时把方程式(10)的右边也按本征函数族式(13)展开,利用

(15)

(16)

代入式(10)和(12),比较对应项系数得常微分方程的初值问题:

(17)

(18)

该初值问题可以用常微分方程理论中常用的非齐次方程式(17)的通解等于它的一个特解加上与其相应的齐次方程的通解的方法来求解[16].不同于文献[15], 本文采用拉普拉斯变换法[1-7, 20]来求解初值问题式(17)—(18).

(19)

(20)

式(17)两边分别作拉普拉斯变换,利用式(20),由线性定理,有

Rep>0.

(21)

其中,Rep>0是为了保证变换的积分收敛,是拉普拉斯变换存在的条件.由式(21),用代数方法解出

(22)

注意到

(23)

(24)

(25)

由折积定理,若f1(t)≒F1(p),f2(t)≒F2(p),则

(26)

(27)

式(27)中的第一个定积分:

(28)

式(27)中的第二个定积分:

(29)

得初值问题式(17)—(18)的解式(27)可写为

(30)

代回式(14)和式(9),得定解问题式(6)—式(8)的解为

(31)

其中Tn(t)由式(30)给出.

(32)

即得

(33)

其中k=1,2,3,…为正整数,且当n的取值确定时,k≠n.

由于振源的振幅A很小, 随着时间t的增加,式(33)中右边的第二项起主要作用,则有

(34)

2 实验结果及数据分析

图2 一维弦垂直方向振动驻波的实验装置图

开启振动驱动器,从零振幅和0 Hz开始, 缓慢增加振幅和频率,以得出最明显的振幅驻波现象(即共振),数出共振时的驻波波腹个数n,从振动驱动器读出频率f,由λ=2l/n算出波长λ,由a=λf算出波速a,记录的波腹个数n、波长λ、波速a与频率f如表1所示.进行数据拟合,可得波腹个数n随共振频率f变化的曲线如图3所示.由图3可以看到,R平方值为0.999,皮尔逊相关系数值为0.999 5,说明其线性拟合程度非常好,波腹个数n随着频率f的增加严格线性增加.

表1 不同频率f下波腹个数n、波长λ及波速a的实验观测值

图3 驻波波腹个数n随共振频率f的变化

对于本实验,由图3可知,n=15时的点明显偏离拟合曲线(直线),会引入较大的误差,若把该点校正或舍弃,理论与实验更加符合,误差会更小.

3 结果和讨论

本文用本征函数展开和拉普拉斯变换法,求解了考虑重力作用情况下一维水平弦的垂直方向振动在方程非齐次、边界条件非齐次下的严格解析解,得到共振产生驻波时的条件,发现共振频率和共振时驻波波腹大小、位置均与重力无关.通过一维水平绳子的垂直方向振动实验,观察到其共振时的驻波现象,分析其产生的原因为弦的任意稳态振动是一系列本征振动的叠加,并且从定量上探究其物理意义与物理图像,得到的理论与实验均符合得相当好.另外,本文利用理论推导公式从测量弦在振动时的波腹个数随着共振频率变化的关系来求解绳子的质量线密度,进一步可求出绳子的质量,在教学和工程上有一定应用价值.