考虑用户能动性和流动性的舆情传播模型

马源源，解蕾蕾，董 南，刘 娜

（1.东北大学 工商管理学院，沈阳 110819；2.东北大学秦皇岛分校 经济学院，河北 秦皇岛 066004；3.东北大学秦皇岛分校 管理学院，河北 秦皇岛 066004）

0 引言

随着互联网的发展，社会突发事件通过各种渠道进行广泛传播［1］已经成为网络舆情的焦点。然而，有些信息与事实相违背，一些所谓的“媒体人”觊觎流量的好处，利用这些虚假的信息达到自己的目的。尤其是在疫情爆发期间，谣言传播造成了公众的恐慌和社会的不稳定。因此，在突发事件发生后，快速识别舆情传播的演化趋势，分析影响舆情传播的机制，对于官方制定应急方案具有重要意义。

由于舆情传播与传染病传播非常相似，许多学者借鉴生物学意义上的仓室模型研究舆情传播动力学模型［2-4］。尽管上述模型模拟了不同群体在社交网络中的传播过程，但并没有考虑个人行为和人际关系对舆情传播的影响。考虑到用户的感知行为，Sang 等［5］表明可以通过提高用户意识抑制谣言的传播。此外，用户的行为也受到情感倾向和心理因素的影响。Xiao 等［6］考虑了用户的从众心理，但对于同一热门话题，网民的心理活动是错综复杂的。网民听到话题时通常会发挥主观能动性，具体表现为3 种行为：1）相信流言，成为传播者；2）先评论然后观望周遭环境；3）主动防御，不参与话题的传播。同时，在作出行为决策中通常伴随着各种心理活动，典型的就是追根溯源的好奇心理和从众心理。本文将综合用户的行为和心理反应两方面衡量用户的能动性，以构建一个更加符合现实规律的舆情传播模型。

用户的流动性也是影响社交网络中舆情传播的一个重要因素。先前关于舆情传播动力学的研究主要集中于静态网络结构［7-8］，没有考虑用户的迁入与迁出。它们只能模拟传播时间较短的舆情传播过程，局限性显而易见。由于虚拟的网络环境，人们可以自由选择离开或留下，这是在线社交网络中普遍存在的现象，因此考虑用户总数变化对舆情传播的影响是必要的。

以上讨论都是基于模型构建的合理性，往往控制负面舆论的传播也很关键。Xia 等［9］通过最优控制方法提出了遏制谣言传播的一系列控制策略。目前，最优控制大都针对单个参数进行研究［10-11］，而现实生活中谣言的控制需要多方共同的努力，因此，将引入多重控制机制进行研究。

上述模型仅从理论上分析了舆情传播的规律，但大多数模型并未结合真实数据进行验证。随着大数据技术的普及，获取社交媒体上的用户生成内容（User Generated Content，UGC）越来越容易。近来，有学者使用真实数据集构建实际传播网络，并基于此考察信息的真实传播情况［12］。Yin等［13-15］研究了信息交叉传播在新冠肺炎中的影响，并使用新浪微博的真实数据验证有效性。本文爬取新浪微博上的热点话题，并利用最小二乘法验证模型的可靠性。

在上述分析和文献［5］的启发下，本文提出SCBRD（Susceptible-Commented-Believed-Recovered-Defensed）舆情传播模型。本文的主要工作如下：

1）将用户能动性和流动性纳入舆情传播模型，在更复杂的网络结构上探究用户行为和心理对舆情传播的影响。

2）计算模型的平衡点和基本再生数，分析了复杂网络的动力学行为，并通过引入多重控制机制求得总成本最小条件下的控制解。

3）与大多数现有研究不同，本文基于新浪微博的真实数据验证模型的有效性，并采用最小二乘法估计模型参数，以准确预测舆情的传播趋势。

1 模型的建立与分析

1.1 模型建立

传统的SIR（Susceptible-Infected-Recovered）舆情传播模型将人群分成易感者（S）、感染者（I）和免疫者（R）三类。在社交媒体上，用户具有能动性行为。本文在传统模型的基础上，将感染者（I）细分为相信者（B）和评论者（C），并增加了主动防御者（D）。其中，相信者和评论者体现了用户能动地参与信息传播的过程；主动防御者体现了用户发挥主观能动意识，尽可能地避免信息的传播。

结合社交媒体的传播机制，感染行为可以分为转发和评论两种。以新浪微博为例，当舆论话题盛行时，《人民日报》《新华网》和许多大V 博主均会发布。相信该话题的用户最有可能转发该微博，该转发行为直接影响着信息的传播；而对该话题迟疑但又感兴趣的用户最有可能先是评论，然后观摩周遭环境，随时可能转换为传播者，该评论行为间接影响信息的传播。还有一类理性程度较高的用户，可以理解为高级的理性知识分子，他们会主观判断信息的真伪或价值，但不会参与信息的传播。总之，用户在接收到消息时通常会发挥主观能动性并表现于行为决策。同时，在线社交网络中用户可以随时地发表见解和看法，自由地参与或离开某个话题的讨论，充分体现了流动性。

根据上述分析，提出了一个动态的SCBRD 舆情传播模型，将从用户的意识行为和心理反应两方面考量用户的能动性。假设每个用户是异构网络中的一个节点，社交网络中节点在时间t的总数用N(t)表示，可以分为5 类：Sk(t)、Ck(t)、Bk(t)、Rk(t)、Dk(t)分别表示在时间t度数为k的易感节点、评论节点、相信节点、免疫节点、防御节点数。社交网络中每个用户在任一时刻仅处于一种状态，用户的状态随时间变化，且转换规则遵循如下：

1）对于易感人群，当听到话题时，通常会发挥主观能动性表现为3 种意识行为且伴随一定程度的好奇心理：①主动防御意识行为，也就是Sk(t) →Dk(t)过程。若用户的知识储备丰富，他们会以ε的概率主动判断信息真伪，且不会影响其他用户的选择。②评论行为，也就是Sk(t) →Ck(t)过程。由于用户分析能力不强，不能果断做出选择，而是出于强烈的好奇心，选择先以现有的知识和经验进行评论。③转发行为，也就是Sk(t) →Bk(t)过程。有一部分用户同样保持着好奇的心理，以λ的概率转发流言，并通过社交网络传播给其他人。

2）由于评论者的摇摆不定，当再次看到信息时，很容易受到周围人的影响，并伴随一定的从众心理：①Ck(t) →Bk(t)过程中，“羊群效应”发挥作用，评论者以βh的概率转化为相信者，进一步传播流言；②Ck(t) →Rk(t)过程中，由于周围人兴趣减少或遗忘，他们会以β(1 -h)的概率转化为免疫者，抑制信息的传播。

3）在政府的干预下，传播者会以δ的概率转化为免疫者，体现了Bk(t) →Rk(t)过程。随着免疫者知识和经验的增长，他们会具备不主动扩散不实信息的意识，以η概率转化为防御者，对应Rk(t) →Dk(t)过程。

那么，一条信息在系统内传播时，用户的能动性主要表现为转发、评论和主动防御3 种意识行为和好奇、从众2 类心理反应。用户的流动性与在线社交网络的动态性恰好对应，反映在进入率p和离开率d。假设初始时刻，系统内全为易感者。根据以上传播准则，SCBRD 舆情传播模型的传播过程如图1 所示。模型中的参数均为0～1 的正数，具体含义的解释见表1。

表1 SCBRD模型中各参数的含义Tab.1 Meanings of parameters in SCBRD model

图1 SCBRD舆情传播模型的状态转换Fig.1 State transition of SCBRD opinion propagation model

此外，SCBRD 模型在平均场方程水平下近似满足以下一组耦合微分方程：

其中k=1，2，…，n代表着无标度网络的度值。Θ(t)表示易感节点和感染节点之间的平均连接数，即

其中p(j|k)是指一个度数为k的节点连接到另一个度数为j的节点的条件概率，并且

1.2 基本再生数和平衡点的存在性

定理1如果SCBRD 系统存在一个无流言平衡点E0=那么该系统的基本再生数为：

一般来说，R0的求解方法有4 种［17］，分别从定义、初始时刻染病者的单调性、正平衡点的存在性和无病平衡点的局部稳定性这4 个角度导出。其中定义法仅适用于比较简单的模型；第二种方法需要对初始时刻的易感者近似取值；第三种方法只能证明均衡点的存在性，不能说明它可作为判断爆发与否的充要条件。这三种方法只是对基本再生数的粗略估计，而根据无病平衡点的局部稳定性能计算得到精确的R0表达式。考虑到相对复杂的系统，在第三种方法的基础上改进并提出了下一代矩阵的方法。其次，利用下一代矩阵法［18］求解基本再生数R0。令χ=(Sk(t)，Ck(t)，Bk(t)，Rk(t))，SCBRD 模型化简为：

在E0处，F(χ)，V(χ)的雅克比矩阵为：

基本再生数R0表示易感人群看到评论和转发之后被感染的人数［18-19］。定义R0=ρ(fv-1)，其中ρ(fv-1)是再生矩阵fv-1的光谱半径。通过计算，可得到式（5）。R0=1是区分舆论是否爆发的阈值，在动力学系统的分析中非常重要。

定理2如果R0>1，SCBRD 模型有且存在唯一的流言持续平衡点

证明 令式（1）右边等于0，可求得在流言持续平衡点处各节点的等式关系为：

这证明了流言持续平衡点的存在性。接下来，要证明它的唯一性。那么，构造如下辅助函数：

对上述等式右边取极限，可以得到如下结果：

由介值定理得，F(Θ*)=0 定义域上有且仅有一个正数解，那么有唯一的解，进而推出其他节点也仅有唯一的正数解。至此，流行持续平衡点的唯一性得以证明。因此，如果R0>1，SCBRD 模型有且存在唯一的流言持续平衡点。

备注 为验证基本再生数计算的准确性，本文根据流言平衡点的存在性再次计算了基本再生数R0。

显然，Θ=0 是上述自治方程的一个解。为此，构造函数H(Θ)=Θ-f(Θ)，其中f(Θ)可表示为：

通过了解H(Θ)的函数性质，可知其为凹函数。此外，为保证函数H(Θ)在0 <Θ<1 有解，则H(Θ)关于Θ的导数需满足：

因此，得到系统（1）的基本再生数为式（5）。此时，基本再生数的值与下一代矩阵方法的结果是一致的，进一步验证了基本再生数R0的正确性。

1.3 动力学分析

定理3当R0<1 时，SCBRD 模型在无流言平衡点处是全局渐近稳定的，否则是不稳定的。

证明 为了证明其全局渐近稳定性，定义

其中：Ck(t)、Bk(t)均为正数，其余参数均位于[0，1]。Vk(t)满足无限大正定的要求，因此，它是Lyapunov 函数。通过Vk(t)对t求导，可得：

根据LaSalle 不变集原理［20］，当R0<1 时，Bk(t)(R0-1) ≤0。此时，SCBRD模型在无流言平衡点处是全局渐近稳定的。

通过数值模拟验证上述结论，给定参数p=0.1，d=0.15，α=0.3，γ=0.2，λ=0.2，β=0.2，h=0.2，δ=0.2，ε=0.12，η=0.1。此时，简单计算可得到R0=0.322 1 <1，SCBRD 模型的演化趋势显示在图2 中。由图2 可知，系统中感染人群的密度趋近于0，表明系统（1）存在无流言平衡点，且全局渐近稳定。此时，易感节点和防御节点会趋近于一个正常数，相信节点和评论节点（可统称为感染节点）会趋于0，在线社交网络中不会存在该话题的持续传播。

图2 R0 <1时SCBRD系统的时间序列轨迹图Fig.2 Time series trajectories of SCBRD system when R0 <1

定理4当R0>1 时，SCBRD 模型在流言持续平衡点处是全局渐近稳定的。

证明 引入函数g(x)=x-1 -lnx，x>0。在x=1 时，g(1)=0。该函数在整个区间内呈现先减后增的趋势，且在x=1 时取得最小值。

接着，构造无限大正定的Lyapunov 函数Vk(t)，定义为：

对Vk(t)求导可得：

参考文献［20］，选择合适的ρ1、ρ2，则ρ1、ρ2需要满足如下关系：

此时Vk'(t) ≤0。同样地，根据LaSalle 不变原理，如果R0>1，系统在平衡点处全局渐近稳定。也就是说，系统趋于稳定时，社交网络中的相关舆论话题会广泛传播，最终会形成热点话题并广为人知。为验证这一结论，给定仿真参数p=0.18，d=0.1，α=0.2，γ=0.5，λ=0.6，β=0.4，h=0.3，δ=0.01，ε=0.05。此时的基本再生数R0=7.153 0 >1，相应的变化趋势显示在图3 中。

图3 R0 >1时SCBRD系统的时间序列轨迹图Fig.3 Time series trajectories of SCBRD system when R0 >1

图3 中易感节点的密度曲线呈现出先升后降的趋势，其余4 类节点密度的曲线均表现为逐步增加。当系统稳定时，社交网络上不断出现转发、评论等感染性行为，形成大规模舆论狂潮。因此，R0的变化会导致系统内各类人群发生显著性变化，调控R0的大小也就成为舆情监控的最有效手段。

2 数值仿真分析

对于本文提出的SCBRD 模型，在第1 章已经利用解析分析的方法从理论上研究了系统的动力学行为。为了深入探讨舆情传播机制，有必要分析该系统各个参数的影响。从基本再生数R0的表达式可以看出，R0的大小与参数α、β、λ、γ、h、ε、δ、p、d有关。接下来，将分组进行关键参数和R0的敏感性分析。最后，考虑到社交网络中用户个体之间的异质性，分析了网络度值k的影响。

文献［21］研究表明，社交网络最接近于无标度网络，通过构造度分布服从p(k)=cγk-γ的无标度网络对SCBRD 系统进行仿真分析，其中：γ为无标度网络的幂律指数，这里选择γ=3［5］；k为无标度网络的度值。无标度网络中的总节点数N=1 000［21］，常数cγ满足系 统中其他参数均为概率值，即它们符合的范围为［0，1］。根据文献［9，16，22-23］中设定的参数区间范围，本章按要求选择了不同的参数取值，结果显示在表2 中。此外，对每类节点数加权求和并进行归一化处理，得到它们在每一时刻的密度。设定在初始时刻，各类节点的密度分别为Sk(0)=0.8，Ck(0)=0.1，Bk(0)=0.04，Rk(0)=0，Dk(0)=0.06。下面将利用敏感性分析和四阶Runge-Kutta 法［24］详细讨论SCBRD 系统的性质。

表2 敏感性分析的参数Tab.2 Parameters for sensitivity analysis

2.1 用户能动性对阈值的影响

当易感者听到热点话题时，通常会发挥主观能动性。本节将具体讨论这些能动性表现中哪些在舆情传播过程中更突出。

首先，将反映好奇心理的参数α、反映从众心理的参数h和被感染的概率β分为一组。选择数据1 并且使得α、h在区间［0，1］上任意取值，得到R0与α、h的关系显示在图4（a）。类似地，用数据2 绘制图4（b）、图4（c）。

图4 基本再生数R0对α，h，β的灵敏度分析Fig.4 Sensitivity analysis of basic reproduction number R0 to α，h，β

把R0看作参数α、h、β的函数，那么存在如下的关系：

由此可得到基本再生数R0与3 个参数均为正相关关系。

从图4 可以看出，随着α、h、β的增大，基本再生数R0也逐渐增大，该结果与理论分析一致。此外，α比h引起的阈值变化范围更大，这说明基本再生数R0对反映好奇心理的参数α更敏感，揭示了在舆情传播过程中，用户的好奇心理比从众心理扮演着更重要的角色。结合图4（b）和（c），可以得到基本再生数R0对好奇心理h最敏感，并且3 个参数对阈值的影响均为非线性的。因此，对于负面舆情话题，官方应尽可能地提供更多可靠的线索，减少网民的好奇心理以营造积极健康的社交网络环境。

其次，将反映意识行为的参数λ、γ、ε分为一组，对比分析哪种意识行为对舆论传播的影响最大。选择数据1 绘制得到R0与λ、γ、ε的关系，结果显示在图5 中。

图5 基本再生数R0对λ，γ，ε的灵敏度分析Fig.5 Sensitivity analysis of basic reproduction number R0 to λ，γ，ε

注意到：

那么基本再生数R0与λ、γ成正相关，而与参数ε成负相关关系。

观察图5 可知，参数λ、γ、ε与基本再生数R0均成线性关系。在等间隔的变化中，λ会引起R0较大的变化，说明转发率λ比评论率γ更容易掀起舆论热潮。这与现实情况类似，往往身边的朋友转发微博比评论微博更能引起注意。图5（b）中，当R0>1.5 时，基本再生数R0对λ更敏感；且在ε较小时，它的敏感性程度要比ε值大时更明显。这意味着当不利舆论泛滥时，转发意识行为占据主导地位，并随着主动防御意识的提高，转发行为的敏感性程度越来越低。

由此可见，主动防御意识行为在信息传播过程中起着一定的作用，但通常用户具备较强的主动防御意识才能凸显出其重要性，这势必会带来高成本的培训和宣传费用。很容易看出，图5（c）中参数ε比γ会引起阈值更大的变动范围。综合来讲，三种意识行为中评论行为最不容易引起舆论的广泛传播，转发行为通常会带动话题的热度。

2.2 用户流动性对阈值的影响

在线社交网络是一个开放系统，用户的流动性是其特有属性。为了探讨这一特征对舆情传播的影响，选择数据1研究R0和进入率p、离开率d的关系，可视化结果显示在图6中。

图6 基本再生数R0对p，d的灵敏度分析Fig.6 Sensitivity analysis of basic reproduction number R0 to p，d

可以看到p和R0是正线性相关的，而d和R0是负非线性相关的。在等同条件［0，1］内变化时，进入率引起的变化范围大于离开率引起的变化范围。此外，在R0=1 时，临界值为p=0.094，d=0.187。比较发现，p比d会造成更大的阈值变化。这意味着在处理负面舆情时，控制进入率通常比增加离开率更有效。

2.3 无标度网络度值k的影响

在社交网络中，每个用户都存在差异，这种差异性也会影响着舆情传播的特征。考虑到复杂网络的异质性，度值k表示无标度网络中相邻节点连接边数，一定程度上反映了社交网络的复杂性。选择数据1，其中度k值取值为1、10、50、100、500，探讨不同k取值范围下各节点密度的变化趋势，结果显示在图7 中。

图7 不同节点在不同k值的节点密度趋势Fig.7 Trends of node density for different nodes with different values of k

正如图7 所示，度值k=1 的曲线与其他度值的曲线略有不同。原因可能是k太小，此时的社交网络比较简单，人际关系网对舆情传播系统的影响较小。随着易感人群度值k的增大，个体密度逐渐减小，且能达到的最值越来越小；对于评论人群，人群密度曲线由谷形变为峰形且k值越大，峰值越大；相信节点的密度呈现出先上升后稳定的趋势。综上，度值k越大，系统内参与舆论传播的人数越多，舆论爆发的规模越大，舆论得到了广泛传播。此外，度k值的变化并不影响系统的稳定性。k值在较小的情况下，变动范围比较明显，尤其在区间［1，10］最明显。这反映了社交网络平台上，如果某话题的热度越高，呈现出的网络关系比较复杂，相关舆情也会得到广泛传播，与实际情况也符合。

3 最优控制

对于负面舆情的传播，控制目标是在考虑控制成本的同时，降低谣言感染者的数量。在现实生活中，谣言的控制通常是多方努力的结果。一方面，需要在线社交网络中用户行为的规范。根据第2 章敏感性分析结果，用户的能动性行为中转发行为λ最为突出，而心理反应也是通过个体的行为决策来表现；用户的流动性中进入率p往往比离开率更加敏感。另一方面，需要的是政府和官方媒体在辟谣和宣传方面做出的努力δ。鉴于此，将三重控制机制引入传播模型，利用庞特里亚金极值原理［24］求解最优控制解pku、λku和δku。

为此，引入一个Lebesgue 平方可积控制函数uku(t)=(pku(t)，λku(t)，δku(t)) ∈U。其中1 -pku(t)是衡量平台通过撤掉热搜、删除话题帖子等手段减少进入舆情传播系统人数的指标，1 -λku(t)表示官方为关闭社交媒体中的转发机制而付出的代价，δku(t)代表着政府为抑制谣言传播做出的努力。U={ukumeasurable：0 ≤uku≤1}，t∈[0，T]代表控制策略施加在SCBRD系统上的时间周期。那么，新的最优控制系统为：

现在，考虑一个带有最小化目标函数的最优控制问题。

式中：J(u)表示政府和官方媒体在规定时间内控制负面舆情传播所需的成本费用；W1k、W2k和W3k是权重因子，衡量单个控制策略的成本在总投入中的比例；控制变量的平方（如反映了相应控制规模的重要性。为实现这一目标，给出以下拉格朗日函数：

控制系统的哈密顿能量函数为：

其中φik(t)(i=1，2，3，4，5)是连接函数。

为了确定伴随函数的形式，关于Sk(t)，Ck(t)，Bk(t)，Rk(t)，Dk(t)对哈密顿能量函数求偏导，并根据庞特里亚金极大值原理，证明目标函数最小点处所有控制变量满足如下要求：

通过求解上述方程，得到了在目标函数约束下的最优解，形式为：

因此，最优控制变量的表达式等价于：

其中：k=1，2，…，n。最优解可以实现每个状态变量正定性的要求，最小化感染节点数和政府控制谣言的成本，为最佳管控点的确定提供了依据。

这些措施将耗费大量人力、物力和财力，有必要求解管控用户行为和投入宣传的最佳水平。参考Lenhart提到的向前-向后四阶Runge-Kutta 方法和最速下降法［24］，给定参数p=0.18，d=0.1，α=0.3，γ=0.5，λ=0.6，β=0.4，h=0.3，δ=0.01，ε=0.1，η=0.1。通过迭代得到最小化目标函数J(u)和最优控制解，如图8（a）所示。当第8次迭代时，目标函数达到了最优值minJ(u)=15 580。之后，控制变量的显著变化对目标函数的影响并不明显，因此，对应的最优控制解为

图8 最优控制的仿真分析图Fig.8 Simulation analysis diagrams for optimal control

将有控制策略和未实施控制的情况进行对比分析，通过调控用户的转发行为、加大政府辟谣的努力和媒体宣传的力度，系统内易感者数明显上升，感染者数显著下降且趋近于0，系统由流言平衡点变为无流言平衡点，谣言短期内在小范围扩散且逐渐消失。这表明对系统实施等多重控制后抑制谣言扩散的效果非常显著。

4 实证分析

为了验证模型在实际应用中的可靠性，本章以新浪微博的实际数据为依托，利用Matlab 进行拟合和参数估计。然后根据最小二乘法拟合的参数分析SCBRD 模型的演化趋势，预测话题的发展情况。

4.1 数据采集

本节选择了林生斌的相关话题，编写了Python 代码爬取数据，从应用程序接口（Application Programming Interface，API）收集准确的转发、评论时间和文案。将开始时间设置为1，采样频率设置为1 d。爬取的时间段为2021 年8 月5 日到8 月24 日，以提取舆情信息在不同时间段的传播特征。新浪微博的真实数据见表3。

表3 2021年8月5日至8月24日的实际数据Tab.3 Actual data for August 5 to 24，2021

4.2 参数估计

为了有效模拟舆情传播，选取了2021 年8 月5 日至8 月19 日的数据，利用最小二乘法进行参数估计。不断调整参数，从0.001 迭代到0.999，通过优化函数即利用拟合误差最小的思想估计模型SCBRD中的未知参数。结果如表4所示。

表4 未知参数的取值Tab.4 Values of unknown parameters

根据表4 的参数值可以求得R0大致为0.273 3，系统的阈值小于1。这表明截至2021 年8 月19 日，新浪微博上该舆论话题热度会慢慢下降，公众逐渐淡忘，不会形成大规模的舆论狂潮。同时，政府有必要采取措施鼓励网民公众，创造积极健康的网络环境，减少公众不恰当的意识行为和盲目从众带来的不良后果。

接着，用最后5 d 的实际数据作为测试集以评估模型分析的准确性。图9 为基于真实传播数据，SCBRD 模型在最优拟合状态下的B 态和C 态曲线。此时，转发和评论两组训练数据的拟合优度分别为=0.947 1 和余弦相似度为cosθB=0.991 1，cosθC=0.990 8，说明该拟合程度非常好。进一步计算了SCBRD 模型与测试数据集的均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）为RMSEB=0.000 246，RMSEC=0.001 016，反映了本文SCBRD 模型在实际背景中的适用性。

图9 数据拟合和预测结果Fig.9 Results of data fitting and prediction

由图9 可知，在时间t=15 时，转发人群趋于稳定；且在t=25 时，评论人群也达到了稳定状态。那么，新浪微博上该话题将会得到控制，不再引起公众的关注，与基本再生数的分析结果一致。因此，SCBRD 模型在演示舆情传播规律方面是有效的，对现实中舆论话题的传播速度、规模以及出现拐点的时间具有一定的指导意义。

4.3 模型比较

为避免偶然误差，本文将SCBRD 模型分别与SCIR（Susceptible-inCubation-Infective-Refractory）模 型［25］、IDSRI（Ignorance-Discussant-Spreader-Remover-Ignorance）模 型［22］和SEIRD（Susceptible-Exposed-Infected-Recovered-Die hard infected）模型［26］进行比较。对比实验将拟合优度R2和RMSE 作为评价指标：R2越大，模型演化与预测数据的拟合越好；RMSE 越接近0，模型的预测效果越好。从表5 的实验结果可见，SCBRD 模型的预测效果都优于其他模型。例如，与SCIR 模型［25］相比，SCBRD 模型的拟合优度提高了27.40%，且预测的均方根误差减小了39.02%。这再次验证了本文构建的模型在舆情传播指导方面的有效性。

表5 基于真实数据集的模型性能对比Tab.5 Performance comparison based on real datasets

5 结语

随着在线社交网络的日益流行，网民可以自由发表意见，充分体现了能动性和网络的动态性。结合社交媒体的机制，本文构建了一类考虑用户能动性和流动性的SCBRD 舆情传播模型。

首先，使用下一代矩阵方法计算了SCBRD 系统的阈值R0，并分析了其动力学特性。其次，利用数值仿真分析了反映用户能动性和流动性的3 组参数对阈值R0的敏感性。结果表明：①三种意识行为中转发行为表现得更为灵敏；主动防御行为一定程度上干预了信息的扩散；而评论行为的效果最不明显。②两种心理反应中，个体的好奇心理比群体产生的从众效应更突出，对舆情爆发的时间和规模更具影响力。③针对动态的社交网络，控制系统的进入率比减少离开率效果更好。然后，引入三重控制机制，利用庞特里亚金原理求得控制总成本最小条件下的最优解。研究表明，当最优控制解为u*=(p*，λ*，δ*)=(0.120 3，0.164 1，0.667 6)时，效果最佳。最后，结合实际数据，计算出林生斌相关话题的基本再生数为0.273 3，说明该话题不会引发持续性讨论狂潮，与实际是相符的。因此，该模型可以有效预测话题讨论的规模和拐点出现的时间等，为舆情分析提供建议和指导。本模型也可用于口碑传播、新产品的推广等，有助于在线社交网络开发新的商业模式。