一种悬索桥主缆线形计算的新方法

摘要 悬索桥主缆计算理论有很多，但是传统的方法存在诸多的缺点，特别是悬索桥主缆成桥线形分析求解过程收敛性问题，是传统方法所必须面对的问题。为解决悬索桥主缆成桥线形分析求解过程收敛性问题，文章研究了外荷载与主缆线形的几何关系，并构造出基于外荷载—线形关系的解析法基本方程，最后通过算例验证了新方法的可行性、有效性及精度。所提出的方法对初值要求低，并且能快速收敛得到主缆线形精确解，适用于悬索桥主缆成桥线形分析。

关键词 悬索桥；主缆线形；解析法；找形

中图分类号 U412.352.1 文献标识码 A 文章编号 2096-8949（2024）04-0041-03

0 引言

目前悬索桥主缆计算理论主要包括有限元法、解析法。

有限元法发展历史较为久远，1966年Brotton首次发表一种以矩阵位移法求解悬索桥结构的通用分析方法^[1]。后续很多学者围绕着几何非线形梁单元刚度矩阵做了许多工作，如陈政清等的空间杆系UL行列式法等^[2]。

解析法最早是基于沿跨径水平方向分布荷载假定的传统抛物线理论，随着跨度的增加，恒载沿跨径方向分布的不均匀性趋于明显，很多专家深入分析研究，逐步发展并形成了基于分段悬链线的解析法^[3]。分段悬链线法也纳入了现行的悬索桥规范^[4]。

基于分段悬链线的解析法在研究过程中逐步与有限元法有机结合，大多以分段悬链线基本方程推导得到索单元刚度矩阵，纳入当前主流悬索桥计算软件。

基于分段悬链线的数值解析法参数少，收敛速度快，是目前计算精度最高、应用最普遍的方法，但是这类方法原理上需要引入包含索段无应力长度及变形相容条件的索段状态方程，由于缆索结构强烈的非线性使得初值的选择对迭代收敛性及收敛速度影响较大。

为了克服分段悬链线解析法的初值要求苛刻的不足，多位专家围绕着力素与主缆线形几何关系开展研究：孙远等^[5]提出“合理轴线”思路，基于桁架单元和结构力学的基本原理直接建立单元坐标与杆端力的关系式，刘超等^[6]提出基于整体力学分析的主缆找形方法，以理想柔索为假定，对主缆控制点取矩构成基本方程，并求解支点反力，再通过迭代求解出主缆线形坐标。这些思路另辟蹊径，不再使用分段悬链线解析法的基本方程，避开了容易导致迭代发散的无应力长度及变形相容条件，大大降低了对迭代初值的要求。

该文提出一种基于外荷载与主缆几何线形的关系，用数值解析法迭代求解主缆线形的新方法，旨在降低初值标准，提高算法普适性，并能得到主缆线形的精确解。

1 基于外荷载—线形关系的解析法

1.1 基本假定

悬索桥主缆线形计算基本假定如下：

（1） 主纜为理想柔索，只能受拉，不考虑其抗弯刚度及抗扭刚度。

（2） 主缆的应力—应变符合胡克定律。

（3） 受力前后主缆的横截面面积及抗拉强度均保持不变。

（4） 集中荷载均作用在单元节点上。

如图1所示，以主缆地锚点为原点O，主缆塔顶锚点为A，中点为C点，B（x，z）点为主缆上任意点，主缆跨径为L，两端点Z方向高差为h，跨中垂度为f。

不失一般性，假设主缆上作用沿主缆索长方向分布的缆索自重等分布荷载q_s（x）和若干集中荷载P（x）如吊杆荷载等，考虑可能存在的斜吊杆，集中荷载P（x）可分解为水平方向的P_x（x）和竖直方向的P_z（x），地锚点O支点反力为F_x和F_z，分布荷载、集中力及支点反力方向均按与坐标轴同向为正，反向为负。

1.2 外荷载节点力素

为方便表述，引入外荷载节点力素定义如下：主缆上任意节点B左侧外荷载在B点产生的节点力素定义为外荷载节点力素。外荷载节点力素包含外荷载节点力和外荷载节点力矩，分别用函数F（x）和M（x）表示。

如图2所示，取任意主缆单元，单元左右节点分别为i和j，已知左节点外荷载节点力素为F_x（x_i）、F_z（x_i） 和M（x_i），单元上作用分布荷载q（x）和集中荷载Px（xj）、Pz（xj）。

外荷载节点力：

外荷载节点力矩迭代表达式为：

与常见的主缆线形显式方程不同，基于外荷载—线形关系的解析法实际是采用外荷载节点力素方程（1）（2）（3）（6）（7）和线形方程（12）以迭代方式构建的隐式表达式。并通过引入“外荷载节点力素”概念，消除了对荷载分布形式的限定，应用范围扩展为能够求得“外荷载节点力素”的任意荷载分布形式都可以应用公式求解线形。

常规的无集中荷载抛物线法可以认为是基于外荷载—线形关系的解析法在跨径方向均布荷载且无吊杆张力等集中荷载作用下的特例，均布荷载弯矩代入（12）可得到常见的主缆抛物线方程解析式：

主缆无应力长度S₀计算公式如下：

式中，T_i——任意主缆单元的张力；L_i——主缆单元长度；S——主缆的形状长度。

2 算例

为方便对比，算例采用张志国等^[7]和沈锐利^[8]独立计算过的某两支点等高悬索桥，具体参数如下：

悬索桥跨度L=888 m，吊索间距12 m，主缆恒载集度q=54 kN/m，加劲梁等其余恒载集度W=200 kN/m，主缆截面积A=0.6 m²，索材弹性模量E=2.0×10⁵MPa，跨中矢高f=60 m，70 m，80 m，90 m，100 m。应用该文算法迭代计算了主缆水平张力H，主缆线形坐标及无应力长度，列表对比如表1～3。

由表1～3可知，该文算法的计算结果与文献^[7-8]基本一致，说明该文提出来的基于外荷载—线形关系的解析法正确可行。

3 结论

该文提出了一种求解悬索桥主缆线形的新方法即基于外荷载与主缆线形关系的解析法。该方法以隐函数及迭代方式构造线形基本方程，力学概念清晰，迭代过程简单，且计算得到的主缆线形坐标均为精确解。

该文的方法通过后置无应力索长及变形相容条件求解，简化了求解难度，降低了迭代初值要求，提高了算法普适性。

参考文献

[1]D. M. Brotton. A General Computer Program for the Solution of Suspension Bridge Problems. Lisbon， 1966， 27-49.

[2]陈政清， 曾庆元， 颜全胜. 空间杆系结构大挠度问题内力分析的UL列式法[J]. 土木工程学报， 1992（5）： 34-44.

[3]李传习. 混合梁悬索桥非线性精细计算理论及其应用[D]. 长沙：湖南大学， 2006.

[4]公路悬索桥设计规范：JTG/T D65-05—2015[S]. 北京：人民交通出版社， 2015.

[5]孙远， 罗文孝， 刘梅. 基于有限元列式的悬索桥主缆找形算法[J]. 土木工程与管理学报， 2018（2）： 116-123.

[6]刘超， 高展. 基于整体力学分析的自锚式悬索桥主缆找形法[J]. 同济大学学报（自然科学版）， 2020（1）： 1-6.

[7]张志国， 邹振祝， 赵玉成， 等．悬索桥主缆线形解析方程解及应用[J]. 工程力学， 2005（3）： 172-176.

[8]沈锐利. 悬索桥主缆系统设计及架设计算方法研究[J]. 土木工程学报， 1996（2）： 3-9.

收稿日期：2023-12-07

作者简介：杨勇智（1976—），男，本科，高级工程师，研究方向：桥梁结构设计。