[摘 要] 随着新课程标准的颁布实施,初中数学教学更加重视知识的结构化,注重让学生在自主探索中运用类比、归纳、分析等数学思想灵活解决问题. 在此背景下,初中数学教学更加重视知识之间的关联,大单元教学也逐步得以开展. 文章基于章起始课统领的“深度探研课”[1],从“二次根式的加减”教学设计及实施出发,重构文本求联动,启发思维孕素养,从而践行课堂设计的新理念.
[关键词] 二次根式的加减;教学设计;深度探研课
教学分析
“二次根式的加减”是人教版数学八年级下册第十六章第三节的内容,本部分的主要内容是二次根式的加减运算和二次根式的加、减、乘、除混合运算. 学习本部分知识之前,学生已经学习了有理数、实数、整式、分式的加减运算,在本章中,学生也已经学习了二次根式的定义、性质及其乘除运算,有许多可以类比的数式学习活动经验. 同时,本部分内容也为我们后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定了基础. 本节教学设计立足于大单元教学理念,是教育部中小学“双名”领航工程邢成云名师工作室提出的“立足市域·走向全国:初中数学章起始课统领的大单元整体教学”之“1+n”结构(“1”指章起始课)中“n”的第二节课,是立足章起始对二次根式加减运算进行的“深度探研课”[1]. 要通过整合二次根式运算的内容,引导学生类比整式加减,通过观察、分析、比较、归纳,总结二次根式加减的方法,能够进一步进行混合运算,并在这一过程中引导学生体会有理数的运算、二次根式的运算,以及整式的运算之间的内在联系,感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.
教学设计
1. 趣味导入,开拓思路
问题1 现有一块长为7 dm,宽为5 dm的木板,能否采用如图1所示的方式裁出两个面积分别为8 dm2和18 dm2的正方形木板?
教学预设 相信学生经过思考能够得出“能否采用”的含义就是比较和5的大小,以及+和7.5的大小.
设计意图 通过此环节培养学生将实际问题转化为数学问题的能力,并通过实际问题引出+这种新的运算,让学生体会到学习二次根式加减的必要性,进而激发学生的学习兴趣,引入新课.
2. 类比归纳,掌握方法
问题2 上面问题中所涉及的两个二次根式(,),能进一步实施运算吗?怎样才能实施运算?
设计意图 由此引出二次根式加减运算进一步实施的条件——先化简,看看是否属于同一类,就和整式加减一样,同类才能进一步运算,于是顺势提出问题3.
问题3 ,是最简二次根式吗?请先化成最简二次根式,再观察化简后的两个二次根式有什么共同特点.
教学预设 化简后的两个二次根式的被开方数相同.
追问1:在整式加减中,我们知道能够合并的项被称为同类项,那么同学们能不能类比同类项给,起个名字?
追问2:类比同类项,总结什么是同类二次根式.
教学预设 类比同类项归纳总结,化简后,被开方数相同的二次根式,叫同类二次根式.
追问3:你能再列举几组同类二次根式吗?
学生经过思考,纷纷举手. (教学预设如下,上课时根据学生举例情况具体对待)
(1),,,3;
(2),,,3;
(3),,,3.
问题4 请同学们用上面所列举的二次根式组成几个加减算式.
教学预设 学生所列举二次根式加减运算如下:(1)+3;(2)+3;(3)-3;(4)++3;(5)-+;(6)+-3;(7)-+-3;(8)(+)-3
-
…
追问1:我们获取知识的过程一般都是按照由易到难的顺序,那么我们应该按照怎样的顺序来研究上面的算式呢?
教学预设 学生思考后决定先研究(1)(2)(3),再研究(4)(5)(6),最后研究(7)(8).
追问2:请大家尝试计算上面所列举算式中的(1)(2)(3).
追问3:你们这样进行运算的依据是什么?
追问4:你们是基于我们以前学过的哪种运算产生的猜想?
设计意图 通过层层追问督促学生明白算理,并且让学生通过类比整式加减学习二次根式的加减,从而引导学生学会将未知的知识转化为已经学习的知识来解决,这是注重学生学习能力提升的举措. 另外,通过引导学生自设问题,开放思维,激活思维,意在发挥学生的主观能动性.
问题5 你们能解决上面所列举算式中的(4)(5)(6)吗?
问题6 你们能解决上面所列算式中的(7)(8)吗?
追问:你们能总结二次根式加减运算的一般步骤吗?
教学预设 师生交流讨论后得出,进行二次根式加减运算时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式逆用分配律进行合并. 即一化——化成最简二次根式;二找——找同类二次根式;三并——合并同类二次根式.
设计意图 引导学生按照由易到难的顺序层层探究,逐步掌握二次根式加减运算的方法. 在注重学生思维能力培养的同时,及时引导学生对方法进行归纳总结,进一步规范解题步骤.
问题7 你们现在能解决课堂开始的木板问题了吗?
教学预设 经过前面的学习,学生不难得出<5,+=2+3=5,因为5<7.5,所以+<7.5. 所以能够截出.
设计意图 这一回归性设问做到了首尾呼应,能让学生感受到数学来源于生活,服务于生活,能让学生在问题解决过程中真正体会到数学的应用价值.
3. 单元整合,混合运算
问题8 上一节我们学习了二次根式的乘除运算,现在又学习了二次根式的加减运算,请大家类比前面有理数、整式和分式的运算部分,思考一下我们接下来应该学习什么.
教学预设 学生类比前面所学数式的主要内容,引出我们下一步的学习任务——二次根式的混合运算.
追问1:请继续用前面所列举的二次根式,组成几个混合运算的算式.
教学预设 学生经过思考,编出以下算式:
(1)(+) ;
(2)(3-)÷;
(3)(-3)(+3);
(4)(-)2.
追问2:请类比有理数和整式的加减乘除混合运算,思考一下如何进行二次根式的混合运算.
追问3:你们能正确解答以上题目吗?
教学预设 学生根据此前的学习经验,运用类比、归纳的数学思想,得出二次根式的混合运算的运算法则,并正确解答以上题目.
设计意图 引导学生将单元所学内容加以整理,逐步建构起知识体系,运用已经掌握的数学思想和方法解决混合运算的问题,帮助学生更深入地理解和掌握二次根式的计算方法. 通过追问1,再次开放学生的思维;通过追问2,搭建类比支架,渗透策略性知识,创新课堂的组织形式,让教学始终发生在系统中. 本环节的设计与实施注重引导学生体会有理数的运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系,感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性,能提高学生的数学运算能力和综合素养.
4. 总结感悟 联动升华
问题9 (1)本节课你有哪些知识、技能上的收获?谈谈你是如何获取这些知识、技能的?
(2)你在学习过程中用到了哪些数学思想方法?
(3)请你结合本章内容谈谈数式学习的一般路径.
设计意图 本环节引导学生全面盘点并反思本节课学习的知识技能及使用的思想方法,通过让学生回顾数式学习的研究路径,使学生更加深入地了解知识间的内在联系,促进了学生对数式研究内容的整体化认识,关联了数式学习的通性,注重了学生思维能力的培养.
反思评价
1. 整体建构,层层深入
“二次根式的加减”中所蕴含的知识并不是孤立的,它和这一单元前两节的内容以及此前有理数、整式计算的内容都有着必然的联系. 本教学设计秉承大单元整体化教学理念,立足整体,前衔后联,进行了系统化布局,通过开放性的设问和追问,引导学生层层深入、自主探究,从而有效掌握二次根式的加减运算及加减乘除混合运算方法,形成与整式、分式运算的呼应之势,可谓串数式联动之珠,成数学素养之美.
2. 善用类比,激活思维
“二次根式的加减”和整式的加减具有一致性,本教学设计精准把握它们之间的关联,进一步引导学生采用类比、归纳的数学思想,将已经掌握的数学知识和方法迁移到新的知识学习情境中来,引导学生举一反三,不断创新,激发其思维活力. 在这个过程中,教师充分借助类比引发学生思考,让学生循着认知脉络,步步进阶,实现了“四基”的和谐共进,进一步促进了学生核心素养的发展.
参考文献:
[1]邢成云. “整体统摄·快慢相谐”的整体化教学[J]. 中国教师,2021(10):38-41.