深度学习视域下初中数学综合与实践教学策略研究

［摘 要］ 深度学习是促进学生学科核心素养发展的有效途径. 文章以“平面图形的镶嵌”为例，重点阐释了深度学习背景下的数学问题探究型综合与实践活动的教学策略，给出了具有可操作性的路径参考.

［关键词］ 深度学习；综合与实践；策略研究

根据布鲁姆对认知水平的划分，学习分为深度学习和浅层学习. 北京师范大学教授李春密认为，深度学习是在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程［1］. 学者朱立明等认为深度学习有三个基本特征：学科活动有体验，学习理解有高度，结构拓展有层次［2］. 结合学科特点、深度学习的内涵及基本特征，笔者通过实践，认为深度学习视域下的数学问题探究型综合与实践教学可以尝试用如图1所示的路径开展.

创设问题情境，激发学习的兴趣

创设密切联系日常生活的问题情境可以激发学生的学习兴趣，引发学生进行有意义的数学思考. 初中阶段的数学知识在现实世界往往可以找到具体的问题情境，教师应借助生活中的恰当问题情境启发学生在情境中感悟数学.

教学设计

多媒体呈现校园中多处地砖、墙砖的拼铺图片，大自然中蜂巢、龟板等图片. 问：你能从这些生活现象中提出什么数学问题？

说明：以校园、大自然中的现实情境引出课题——“平面图形的镶嵌”，引导学生感受数学源于生活，培养学生提出问题的能力.

注重抽象提炼，培养数学的眼光

“会用数学的眼光观察现实世界”是培养数学学科核心素养的重要目标. 初中阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力、几何直观、空间观念与创新意识［3］. 能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构，理解自然现象背后的数学原理［3］等是“会用数学的眼光观察现实世界”的具体表现.

教学设计

问题1：观察图2中的两张图片，它们分别由哪些基本图形构成？同一种基本图形的形状、大小有什么关系？

问题2：两张图片都是平面图形镶嵌所形成的图案，请尝试给出平面图形镶嵌的定义.

活动：合作学习，用若干全等的三角形纸片和四边形纸片分别尝试拼成镶嵌图案.

问题3：一种多边形能镶嵌平面需具备哪些条件？

问题4：任意一种三角形或四边形能否分别单独镶嵌平面？

说明：该部分首先组织学生观察图片，抽象平面图形镶嵌的定义；然后组织学生进行拼图活动，在活动的基础上讨论镶嵌的条件；最后引导学生运用镶嵌的条件解释任意一种三角形或四边形都能单独镶嵌平面. 从现实世界中抽象研究对象，通过活动掌握并运用镶嵌的条件，这样，学生用数学的眼光观察现实世界的意识和习惯得到培养.

扎实深度探索，发展数学的思维

培养数学学科核心素养，需要落实“会用数学的思维思考现实世界”的育人目标. 能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系［3］等是“会用数学的思维思考现实世界”的具体表现. 初中阶段，数学思维主要表现为：运算能力、推理能力［3］. 利用拓宽研究思路、搭建学习支架、完善结构体系的教学路径能够很好地发展学生的数学思维.

1. 拓宽研究思路

一些心理学家认为发散思维是创造性思维的最主要特点. 在教学过程中，教师应倡导学生从不同的角度思考问题，以培育逻辑思维能力.

教学设计

问题：仅用一种正多边形镶嵌平面，会有哪些情形？

枚举：6个正三角形，4个正方形，3个正六边形.

思路1：对于正n边形，其内角的度数随着n的增大而增大，当n不少于7时，所需要的数量为2个或1个，显然不可能.

思路2：设正多边形的边数是n，则每一个拼接点处的数量为360÷=2+. 因为边数和数量均为正整数，所以n的值为3，4，6.

思路3：设正多边形的边数为n，每一个拼接点处的数量为m，则m=360，整理后得到（m-2）（n-2）=4. 因为m，n均是正整数，所以m-2=1，

n-2=4 或m-2=2，

n-2=2 或m-2=4，

n-2=1， 解得m=3，

n=6 或m=4，

n=4 或m=6，

n=3.

所以仅用一种正多边形镶嵌平面有如下三种情形：（6，6，6），（4，4，4，4），（3，3，3，3，3，3），数字代表正多边形的边数（下同）. 三种情形对应的镶嵌图案如图3所示.

说明：该环节重点引导学生枚举并多角度说明猜想的正确性. 思路1的“定性分析”是灵活的；思路2将问题转化为“整数+真分式”的整数解问题，思路3将问题转化为二元方程整数解问题，既拓宽了研究思路，也为后续的研究提供了方法支持.

2. 搭建学习支架

教学目标的达成需要关注学习支架的搭建. 何时搭建、如何搭建都可能影响目标的达成度. 为了实现更高的目标，在组织学习之前，教师依据教学内容、学情等预设学习支架至关重要.

教学设计

问题1：同时用两种正多边形镶嵌平面，会有哪些情形？

支架1：根据正n边形（3≤n≤12）每个内角的度数，思考哪两个度数组合能得到360°.

枚举：（3，3，6，6），（3，3，3，3，6），（3，3，3，4，4），（3，12，12），（4，8，8），（5，5，10）.

支架2：设每一个拼接点处正x边形和正y边形分别为m个和n个，能列出怎样的等式？

m·+n·=360，即m·+n·=2.①

追问：该如何求解？

支架3：正整数m，n，x，y的范围分别是什么？（1≤m<6，1≤n<6，x≥3，y≥3）

支架4：m+n的范围是什么？

由①得m+n=2+2

+

>2，进一步分析得3≤m+n<6且为整数.

支架5：不妨设m≥n，m和n的取值有哪些情况？

m=2，

n=1或m=3，

n=1或m=2，

n=2或m=4，

n=1或m=3，

n=2.

活动：请类比上一环节的思路2，完成后续的推理.

当m=2，

n=1 时，y=2+，得x=5，

y=10或x=8，

y=4 或x=12，

y=3. 当m=3，

n=1 时，y=1+，无解. 当m=2，

n=2 时，y=2+，得x=3，

y=6或x=6，

y=3.当m=4，

n=1 时，y=，由x=3，

y=6或x=4，

y=2 或x=5，

y= ...得x=3，

y=6.当m=3，

n=2 时，y=，同理得x=3，

y=4.

问题2：六种情形对应的“镶嵌”图案见图4. 观察图4，你有什么启发？

共顶点内角的和为360°不一定能镶嵌平面，需要所有点的周围内角的和都达到360°.

所以用两种正多边形镶嵌平面有如下五种情形：（4，8，8），（3，12，12），（3，3，6，6），（3，3，3，3，6），（3，3，3，4，4）.

说明：引导学生根据正n边形（3≤n≤12）每个内角的度数组合得到360°，学生的“数感”得到训练. 可以预判，学生面对四个未知数的等式极有可能无从下手，所以教师要提前预设多个学习支架，辅以几何直观，让学生顺利突破难点.

3. 完善结构体系

数学知识具有系统性、结构性，是相互联系的有机整体. 若把某一数学知识体系看作一台“机器”，与其相关的各个知识点就是一个个“零件”. 在教学过程中，教师应循序渐进，组织学生有序学习，关注知识的整体性，不断完善结构体系.

教学设计

问题1：我们对用一种和两种正多边形镶嵌平面做了研究. 接下来该研究什么？从哪个角度切入？

用三种正多边形镶嵌平面，从拼接点处正多边形的数量切入.

追问1：每一个拼接点处正三角形和正方形分别至多有几个？当个数分别取最大值时，有哪些情形？

2个；（3，3，4，12），（3，4，4，6）.

追问2：当正多边形的边数至少为5条时，在每一个拼接点处至多出现几次？

1次，216°+60°+90°>360°.

追问3：若拼接点处每一种正多边形只出现1次，有哪些情形？

支架1：设正多边形的边数分别为n，n，n（n<n<n），能列出怎样的等式？

++=360，即++=.

支架2：当变量太多时，我们可以采用什么方法解决？（控制变量法）

①当n=3时，n=6+，得

n=7，

n=42 或

n=8，

n=24 或

n=9，

n=18 或

n=10，

n=15.②当n=4时，n=knEmoSpSzvCFkOWRap3/KogjRJs1MoXDo+zh1pbpJCo=4+，得

n=5，

n=20 或

n=6，

n=12. ③当n=5，n=6，n=7时，108°+120°+

°≠360°. ④当n=5，n=6，n=8时，108°+120°+135°>360°.

综上，共有八种情形，对应的“镶嵌”图案如图5所示. 从图5③至5⑦可以看出，（3，7，42），（3，8，24），（3，9，18），（3，10，15），（4，5，20）不能镶嵌平面.

所以用三种正多边形镶嵌平面有如下三种情形：（3，3，4，12），（3，4，4，6），（4，6，12）.

问题2：同时用至少四种正多边形能镶嵌平面吗？

60°+90°+108°+120°>360°，不能.

说明：该部分首先引导学生确定研究的对象和切入口，然后通过分析得到（3，3，4，12），（3，4，4，6）两种情形，将问题归结为研究拼接点处每一种正多边形只出现1次的情形. 随后，借助学习支架和几何直观得到使用三种正多边形镶嵌平面的全部情形. 最后，推理得到至少四种正多边形不能镶嵌平面的结论. 从对一种正多边形到两种正多边形，再到三种及以上正多边形镶嵌平面的研究，达成了对正多边形镶嵌平面知识的深度学习.

引领整合归纳，渗透数学的语言

整合归纳是促进良好知识结构形成的有效方式. 初中阶段，数学语言主要表现为：数据观念、模型观念和应用意识［3］. 在对知识技能、思想方法、学习路径等整合归纳时注重模型观念和应用意识的渗透，能够更好地达成“会用数学的语言表达现实世界”的课程目标.

教学设计

请从知识技能、思想方法、学习路径等角度谈一谈你的收获.

说明：引导学生从知识技能、思想方法、学习路径等角度整合归纳，运用思维导图（图6、图7）呈现，加深对知识技能的整体认知，对思想方法的理解感悟，为今后的研究提供路径参考. 在整合归纳时注重模型观念和应用意识的渗透，学科核心素养得到进一步培育.

深化迁移应用，落实深度学习

“迁移与应用”是知识向经验转化的必要途径，是落实深度学习的重要环节. 它强调对学习结果的外化，一方面可以深化对所学知识的理解，另一方面可以锤炼学生面对新的问题情境时分析问题和解决问题的能力.

作业设计

1. 从用两种或三种正多边形镶嵌平面的情形中至少选择一种，借助几何画板或纸片设计一个美丽的镶嵌图案.

2. 如图8，在正方形内部剪去一个不规则图形并平移形成新的图形. 以新图形为基本图形能否镶嵌平面？画图说明.

3. 平面图形的镶嵌可以使用的基本图形非常丰富. 如荷兰艺术家埃舍尔的经典作品《骑士平面镶嵌》（图9）. 镶嵌不仅限于平面图形，如足球表面是由12块正五边形和20块正六边形镶嵌构成的. 请课后通过互联网或图书查阅镶嵌的更多知识，并分享给你的同伴.

说明：作业1是所学知识的具体实践，锻炼学生的动手操作能力. 作业2是从规则图形的平面镶嵌到不规则图形的平面镶嵌的迁移. 作业3是开放题，借助互联网、图书等途径可以实现对镶嵌更加深层次的学习. 作业设计的循序渐进，符合深度学习对结构层次拓展的要求.

在综合与实践教学过程中融入深度学习的理论，必将会对新一轮课程标准在实践层面的推进产生积极影响. 教师在组织深度学习视域下综合与实践教学的过程中应紧扣“深”字：思维应“深”入，过程应“深”刻，结果应“深”化. 教师只有关注教学活动的体验、学习理解的高度、结构拓展的层次，才能切实培养学生的学科核心素养.

参考文献：

［1］李春密. 深度学习：走向核心素养（学科教学指南·初中物理）［M］. 北京：教育科学出版社，2020.

［2］朱立明，冯用军，马云鹏. 论深度学习的教学逻辑［J］. 教育科学，2019，35（3）：14-20.

［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.