基于预测校正法的迫击炮外弹道模型解算方法

罗超元,王双川,许 锦

(陆军步兵学院, 南昌 330103)

0 引言

随着模拟训练的逐步推开,炮兵模拟训练系统的运用也更加广泛。在系统研发过程中,要根据装定诸元在虚拟场景中模拟出较为准确的弹道轨迹,从而确定弹着点的位置,以满足用户对仿真精度的要求。

为准确复现出迫击炮弹丸的运行轨迹,需要对外弹道进行准确的模型构建和解算。目前关于提升外弹道仿真精度的研究主要思路是对外弹道模型进行细化。主要有3类模型:质点外弹道模型、刚体外弹道模型、准刚体外弹道模型。质点外弹道模型参数少、解算速度快,但由于模型简单,精度难以有较大的提升。因此,相关研究开始综合考虑同时对内、外弹道仿真进行优化从而提升仿真精度[1]。刚体外弹道模型、准刚体外弹道模型通过将更多的影响因素纳入到模型中对模型进行细化,以提升仿真精度。但与此同时模型参数也随之增加,尤其是刚体外弹道模型较为复杂,解算需要更多的时间[2-3]。因此,以解算方法为切入点提升外弹道仿真的精度具有一定的必要性。

在现有的普通迫击炮外弹道仿真研究中,解算方法以常规的微分方程数值解法为主[4]。吴晋等[5]采用欧拉法对外弹道模型解算,对虚拟场景中的外弹道可视化建模与仿真,但由于欧拉法是二阶方法,精度较低。张进强等[6]将欧拉法、改进的欧拉法、龙格库塔法(R-K)运用到外弹道可视化仿真中,从多种方法中进行择优,结果表明,龙格库塔法最为精确。董理赢等[7]运用变步长的4阶龙格库塔法对122 mm榴弹炮外弹道进行了解算,得到了更为准确的结果。近年来解算方法研究的开始转向数值稳定性较高的迭代修正方法[8]。从现有的研究来看,龙格库塔法是最常用的方法,目前已经有较多的相关研究[9-14],精度难以有进一步的提升。此外,关于其他方法的研究较少,实际应用过程中缺少可供选择的替代方法。

基于上述研究需求和研究现状,本文中拟采用预测校正法探究提升外弹道模型解算精度的有效途径,在现有的弹丸质心运动模型基础之上,对模型进行进一步调整,并结合阿达姆斯(Adams)线性多步法中的巴什福思法(Adams-Bashforth)与莫尔顿法(Adams-Moulton)设计一种预测校正的解算方法,并与同阶精度的龙格库塔法与线性多步法的解算结果进行对比分析,以验证预测校正方法的有效性。

1 数学模型

1.1 问题描述

在迫击炮模拟训练中,装定诸元后系统需要根据初始表尺来对弹道轨迹进行仿真,从而确定虚拟场景中弹着点位置,射击指挥再根据弹着点位置进行口令修正。准确找出弹丸落点,才能保证修正口令的正确性。因此,构建准确的弹道模型,需要复现出准确的弹道轨迹。

1.2 基本假设

虚拟场景中重构了迫击炮的射击条件,包括地形条件、弹道条件、气象条件、地球条件,弹丸在飞行中主要受上述条件的影响。为建立更为细化的外弹道模型,这里在文献[12]的基础上,对迫击炮外弹道的模型基本假设和参数进行调整,具体假设如下:

1) 假定炮口和弹着点在同一个水平面上,即炮目高低角为0;

2) 假定弹丸为轴对称体,不考虑刚体运动,运动过程中攻角始终为0,将弹丸运动看作质点运动;

3) 假定任意高度上风速均为零,气温、气压为标准值,弹丸会受空气阻力影响;

4) 假定装药温度+15 ℃,空气密度1.206 kg/m3,音速340 m/s,气压846.3 Pa,地面虚温288.9 K;

5) 假定科氏重力加速度为零,地表面为平面,地球表面标准重力加速度9.8 m/s2,重力加速度会受射高影响;

在上述假设基础上,弹丸在空气中的飞行相当于在二维空间中只受到空气阻力和重力的质点运动。

1.3 外弹道方程

在基本假设下,以炮口为原点建立二维直角坐标系,将横纵速度进行分解,则经典的外弹道微分方程组可转换为式(1)的形式:

(1)

式(1)中:H(y)为空气密度函数,G(v)为空气阻力函数。因为常规迫击炮射击距离不远,弹道和射速也不高,所以空气密度函数和阻力函数采用文献[12]中的经验公式,在一定程度上可以保证模型的精度,如式(2)、式(3)所示:

H(y)=(1-2.190 4×10-5y)4.399

(2)

(3)

重力加速度g随射高变化的函数如式(4)所示,其中g为实时重力加速度,地面标准重力加速度g0=9.8 m/s2,R为地球半径,y为射高:

(4)

虚温与射高的关系如式(5)所示,其中地面虚温τ0=288.9 K。

τ=τ0-6.328×10-3y,y<9 300 m

(5)

2 解算方法设计

目前,关于外弹道仿真的研究是使用龙格库塔法进行弹道微分方程的解算,解算方法的阶数越大,仿真的精度越高,同时计算量也随之增加。为兼顾解算效率,研究主要采用4阶的龙格库塔法,但精度依然有待提升。因此,可以将Adams线性多步法中的Adams-Bashforth方法和Adams-Moulton方法相结合,采用预测校正的方法来降低解算的误差,提升弹道解算精度。

2.1 线性多步法

与龙格库塔法不同的是,线性多步法在解算微分方程时期望利用前面已经求得更多函数值来计算当前得函数值,如果利用前k步的函数值,则线性多步法的一般形式,如式(6)所示:

(6)

为使得解算结果具备可比性,采用理论上与4阶龙格库塔法同精度的线性多步法公式:Adams-Bashforth采用4步4阶公式,Adams-Moulton采用3步4阶公式,依托数值积分法可以得出Adams线性多步法公式。其中,4步4阶Adams-Bashforth方法是显式方法,如式(7)所示,截断误差为251h5y(5)(ξn)/729。3步4阶Adams-Moulton方法为隐式方法,如式(8)所示,截断误差为-19h5y(5)(ξn)/720。

(7)

(8)

2.2 预测校正设计

对于一般的线性多步法,相同阶数的隐式方法比显示方法的数值稳定性更好,结果更为精确[15-16]。但仅利用隐式方法很难求出某一点yn+1的函数值,因此先利用Adams-Bashforth显示公式求解(预测)每一步的函数值,再利用Adams-Moulton隐式方法进行校正,结合2种方法的优势来提升解算精度。此外,如果每次预测矫正的迭代次数过多会造成额外的时间开销,所以本文中对迭代次数进行了限制。具体的迭代过程如下:

1) 初始化条件:vx,vy,θ,x,y;

2) 用4阶R-K方法计算vx,vy前4步的函数值;

3) isStop=False;

4) while not isStop do;

5) 用Adams-Bashforth公式预测vx,vy;

6)vx,vy代入Adams-Moulton公式进行校正;

7) 更新vx,vy;

8) 更新θ,x,y,τ,g,Hy,Gv;

9) 判断是否满足停止条件(y<0),满足则令isStop=True。

其中,由于4阶线性多步法显示公式在初始时要利用前4步的值,因此,先用4级4阶龙格库塔方法分别求出弹丸运动过程中前4步2个方向的速度值,4级4阶龙格库塔法方法如式(9)所示。在迭代时,仅对2个方向的速度值进行一次预测和校正,在这个过程中,先利用Adams-Bashforth法计算初始预测值,如式(10)所示;再利用Adams-Moulton法进行迭代校正,将初值预测值代入式(11)右侧,得到一个校正函数值。其他变量的值根据2个方向上速度的变化进行更新。

(9)

(10)

(11)

3 模型解算与分析

为检验第2节中设计的预测校正方法的有效性,分别用4阶经典龙格库塔法(R-K)、Adams-Bashforth线性多步法(A-B)和预测校正法(PE)进行解算弹道模型,对解算结果的精度进行对比分析。弹道解算软件环境采用Matlab 2010b,根据第2节的解算方法设计自行编写解算程序,运行程序的计算机核心处理器为AMD Ryzen5 3500U,内存12 G。

仿真初始条件设置如下:以82迫击炮远程杀伤榴弹4号装药为例,取表尺为1 000和716时的初始条件代入模型,经换算初始倾角为45°和62.04°,设时间步长s为0.01 s,则初始条件为

t0=0 m/s,x0=0 m,y0=0 m,v0=238 m/s,θ0=45°/62.04°,g0=9.8 m/s,τ0=288.9 K,s=0.01 s。

代入初始条件进行模型解算,结果如下表所示,其中表1为射表真值、表2为仿真值、表3为仿真误差百分比。

从表1—表3的解算结果中可以看出,2种初始倾角情况下,同阶精度的龙格库塔法和Adams-Bashforth线性多步法在射距、射击最大高程、飞行时间、落角上的解算结果比较接近,Adams-Bashforth方法比龙格库塔方法的解算精度低,但差距并不明显。在3种解算方法中,预测校正的方法解算出的结果在精确度上具有明显的优势。

表1 射表真值

表2 仿真值

表3 仿真误差百分比

初始倾角为45°时,解算时间如表4所示,表中为10次解算的平均时间和标准差。从时间代价来看,Adams-Bashforth线性多步法耗时最短,预测校正法解算时间较长,但相差不超过1倍,对预测校正方法的实用性的影响较小。

表4 解算时间

图1—图3分别为45°出射角时,外弹道的轨迹曲线、时间-速度曲线、时间-倾角曲线。从图1中的外弹道轨迹可以看出,随着弹丸飞行距离的增加,3种不同方法解算出的弹道轨迹逐渐分离,预测校正法解算的弹道轨迹飞行高度最高、飞行最远,也最接近射表。图2时间-速度曲线和图3的时间-倾角曲线可以解释这一现象,随着时间的增加,预测校正方法解算出的弹丸速度始终比其他2种方法的解算结果大,弹丸倾角减少较慢,故此飞行高度和距离较远。

图1 外弹道轨迹

图2 时间-速度曲线

图3 时间-倾角曲线

经分析,主要有以下2点原因:一是研究的重点在于解算方法精度的提升,因此在构建模型时,为简化模型,采用了较为简单的质点运动模型,忽略了刚体运动等因素的影响,模型本身存在一定的误差;二是微分方程的数值计算方法本身存在截断误差,随着计算次数的增加累计误差会逐渐增大,从弹道曲线、时间-速度、时间-倾角曲线的走势来看龙格库塔法和线性多步法解算精度小于预测校正法。

4 结论

为提升迫击炮外弹道模型解算精度,设计了一种基于预测校正的解算方法,并构建了外弹道模型对方法的有效性进行了验证,结果表明:

1) 基于Adams-Bashforth和Adams-Moulton的预测校正方法在质心外弹道模型解算精度上有一定的提升。

2) 设计的预测校正方法与传统的龙格库塔法和线性多步法相比具有明显的优势,具备较高的实用性。

3) 研究成果为模拟训练系统中虚拟火炮的外弹道仿真提供了一种参考的解算方法,并启发了后续的研究思路,后续的研究可以转向将方法运用到参数更多的刚体外弹道模型上,进一步提升仿真精确度。