计数问题规律探索

郑俊哲

计数问题，就是数数问题,当数目很小时,数的仔细些就能数对;数目不是很大时,找对规则也一定数不错;但当数目很大时,就要有一定的技巧才能做到又快又对. 常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理、列表法、归纳猜想法、分类讨论法等．

对于计数问题,常用到高斯求和公式：1+2+3＋…+n= （n+1）n.

一、枚举法

例1如图1，ABCD是一个正方形，边长为2 ｃｍ，沿着图中线段从A到C的最短长度为4 ｃｍ.这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.

解：将各种路线一一列出，可知共6条，见图2.

二、利用加法原理和乘法原理

加法原理做一件事，完成它有n类办法，其中第一类办法中有m1种方法，第二类中有m2种方法，…，第n类办法中有mｎ种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mｎ种不同的方法.

例2从甲地到乙地可乘火车，也可乘汽车或轮船.一天中火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

解：完成由甲地到乙地这件事有三类办法：第一类办法坐火车，一天中有4种不同走法.第二类办法坐汽车，一天中有2种不同走法.第三类办法坐轮船，一天中有3种不同走法.由加法原理得：4+2+3=9（种）．

乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法，…，第n个步骤有mｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1·m2·…·mｎ种不同的方法.

例3由数字1、2、3、4、5可组成多少个允许有重复数字的三位数？

解：组成允许有重复数字的三位数这件事可分三个步骤完成：第一步确定百位上的数字：有5种不同方法.第二步确定十位上的数字：有5种不同方法.第三步确定个位数字：有5种不同方法.由乘法原理：5×5×5=125（个）.

三、列表法

列表可简单明确地反映题目中数量关系、计算的过程，既可提高效率、减少和避免错误，又有利于检查分析数据、得出正确的实验结论．

例4三边都是正整数，且最长的边为11的三角形有多少个？

解：设a，b，c 为三角形的三边，且a≤b≤c，则c=11．又a+b>c,从而2b>11，所以6≤b≤11，我们按b的取值列表：

所以满足条件的三角形共有：1+3+5+7+9+11=36（个）．

四、归纳猜想法

归纳猜想就是先对几种简单情形进行分析，然后从中归纳猜想出一般的规律,再进行推广.

例51条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分……

（1） 8条直线最多能把平面分成多少部分？

（2）n条直线最多能把平面分成多少部分？

解：1条直线最多将平面分成2个部分：S=1+1．

2条直线最多将平面分成4个部分：S=1+1+2．

3条直线最多将平面分成7个部分：S=1+1+2+3．

现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以4条直线最多将平面分成 7+4=11个部分：S=1+1+2+3+4．

依此类推：8条直线最多将平面分成的部分数：S=1+1+2+3+4+5+6+7+8＝37（个）．

n条直线最多将平面分成的部分数：S=1+1+2+3+…+n= ．

五、分类讨论法

分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”．其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小结，归纳得出结论．

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