数学探索性问题及解题策略

陈大宁

探索性数学题是以数学题构成要素为标准，着眼于数学题的功能进行分类的一种题型，它具有这样一个共同的特点：即构成数学问题的要素中，至少有一个要素是不确定的，从而使解题思考方向具有不确定性，这类问题的题型内容广泛，形式多样，要学生自己推断补充并加以解决，由于这类问题形式新颖，思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，给学生解题带来一定的困难，但是在中考中，考查这方面的力度和权重不断加大，它着重于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高学生的思维品质、培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用，引起了广大师生的高度重视，从近几年来各地考题的特点来看，解答题类型的探索题常作为压轴题出现．常见的有存在型探索题、规律型探索题、条件型探索题、结论型探索题等．本文将就这四种常见的题型进行探讨，找出数学探索性问题的解题策略．

1．存在型探索性问题

这类问题通常是讨论在给出的题设条件下，是否存在某个数学对象，或成立某个数学结论的数学问题．对这类问题的解题策略是：先假设所探求的对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或演绎推理，若由此推理出矛盾，则假设不成立，从而得出“不存在”的结论，其中推理得出矛盾的过程就是结论不存在的理由，若推理能求出在题设范围内要求的数学对象(如数值、图形等)，就得到存在的结论．

【例1】 已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．