巧断银链

赵国瑞

“巧断银链”这个故事，同学们可能听说过，但大家对其中蕴涵的数学道理都很清楚吗？请看赵老师的讲解.

巧断银链问题源于一则民间故事：

一天，财主L对雇工E说：“我有一串银链，共有7个环，如图1，你给我做一周的工，我每天付给你一个银环．不过，有一个条件，这串银链是一环扣着一环的，你最多只能断开其中的一个环，以使你能做到每天取走一个环．如果你做不到这点，那么你将得不到这一周的工钱！”

请你帮雇工想出一种办法，使他能如数得到这一周该得的工钱．

答案：财主的这个问题并不难，只要把这串银链的第三个环断开，使它分离为三个部分，如图2，这三个部分的环数分别是1，2，4．

第一天雇工取走单环；第二天退回单环取走双环；第三天再取走单环；第四天退回单环和双环，取走四环；第五天又取走单环；第六天又退回单环取走双环；第七天取走最后的单环．到此，雇工7天的工钱都已拿到．

探索：在允许割断m个环的条件下，最多能处理多长的链条（环数为n），才能做到在n天中，每天恰能支付一个环作为工钱？

答案：保留原题目的要求，并允许割断m个环，最多能处理的链条环数为n．

为了找出m与n之间的关系，我们先考虑断开两个环，即m=2的情形．显然，此时环链断成了五个部分，其中有两部分是单环，可以支付头两天工钱．为了支付第三天工钱，必须用一串三环去换回两个单环．以上三部分可够支付头5天的工钱，因此第四部分应当是6环．同理推出第五部分应当是12环，如图3．即这五个部分的环数分别是：1，1，3，6，12．

由此得出：当m=2时，n=23．类似地，当m=3时，可求得环链割断成七个部分的环数如下：1，1，1，4，8，16，32．

同理，当允许环链割断m个环时，环链被断成的（2m+1）个部分的环数应为：

1，1，…，1，（m+1），2（m+1），…，2m（m+1）．

从而n=m+（m+1）+…+2m（m+1）=（m+1）2m+1-1．

这，便是巧断链条问题的一般性解答．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。