直面认知差异找准学习起点

王逸卿

“数学广角”是人教版教材中新增加的一个内容。主要是系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序的、严密的思考问题意识，同时使他们逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望。数学思想方法比数学知识更抽象，呈现形式比较隐蔽。“数学广角”的内容相对于其他单元的内容来说思维的难度大一些。

基于对教材这样的理解，试教“数学思考”一课的时候，我是这样设计的：

一、导入新课：

1同学们，我们来做一个小游戏，请你们拿出纸和笔。在纸上任意点上7个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数。看看连成了多少条线段。

2同学们，有结果了吗?

(估计学生会有不同的结果，要数清楚21条线段是比较困难的)

你感到有什么困难?

(比较多，比较乱)

37个点比较多，如果点少一些，可能比较清楚是吗?

二、探究规律：

1你觉得少到几个点，你就没问题了?

(估计学生会说2个点肯定没有问题!)

2那就先来2个点，可以连几条线段?

(板书：点数：“2”，总数“1”条)

3如果增加一个点，3个点了，一共可以连几条线段?

(板书：点数：“3”，增加“2”总数“3”条)

[课后思考]

试教下来，学生的思维过程与教学设计相距甚远。预设中，学生的学习会遇到困难，教学的步子需要小一些，引导需要多一些。但课堂上，当我问道：“同学们，有结果了吗?”第一个学生的回答：“有21条!”第二个学生同样回答：“有21条!”当有一个学生怯生生地说：“有7条”的时候，马上有学生起来反驳：“7条是不对的，应该是6+5+4+3+2+1=21条。”学生竟然这么轻易就解决了问题，而我接下来的引导显得非常生硬：“是21条吗?谁画出来了，上来数数看!”“如果点少一些，可能比较清楚，是吗?”学生显然对于我回避正确的解法，硬是从两个点开始画起兴致不高。

学生为什么对于教师的一步步引导兴致不高?学生的知识基础到底是怎样的?

带着这样的思考。我在另一个班级做了一个课前调查，在教师没有任何提示的情况下让学生尝试解决例题：“两个点之间可以连1条线段，那么7个点可以连多少条线段呢?”虽然，我已经感觉到可能会有很大的差异，但是结果还是让我比较吃惊：59人的一个班级：有25位同学已经能够列出“6+5+4+3+2+1=21条”(其中两位同学算错)，有7位同学列出“6×7=42条、42+2=21条”，有10位同学是画图的方法(其中六位同学画错)，只有两位同学的列式为：“1+2+3+4+5+6=21条”，而有17位同学几乎是无从下手，思路都不对。

学生的差异是客观存在的，在其他数学知识的新授过程中，我们也发现总有学生在尝试练习中已经能够解决问题。不过，“数学广角”中学生的差异显然更大，“6+5+4+3+2+1=21条”这种方法体现了在解决排列组合问题时有序思考的价值，在许多学生的脑海里已经根深蒂固，我们也的确感到了这种方法的优越性。不过，教材编写的目的，不仅仅是解决这个问题，更为重要的是希望学生能够理解和掌握“化繁为简”的思想方法。

基于对学生这样的认识，正式执教“数学思考”一课的时候，我是这样设计的：

一、导入新课，探究规律

1数学离不开点、线、面，“线段”大家一定不陌生，一条线段有几个端点?

反过来，两个点之间可以连一条线段。(媒体显示)

2那么，如果现在有7个点，每两个点之间连一条线段，一共可以连多少条线段?

先把你的想法写在草稿纸上，然后跟同学交流交流!

3有序展示学生的思维：

(1)呈现写有“6+5+4+3+2+1=21(条)”的学生作业本，指名说出思路。

(从1个点出发，可以跟其他的6个点都连1条线段，这个点与其他几个点都连过了，第二个点就与这个点不连了，跟另外5个点共连5条线段，依次类推，所以一共是6+5+4+3+2+1=21条)

(2)呈现写有“6x7÷2=21(条)”的学生作业本，指名说出思路

(每个点都可以与其他6个点连一条线段，一共是42务，因为两个点之间的线段都算了2次，所以除以2)谁听明白了?你也来说一说!

(3)呈现“画图的方法”的学生作业本：

你能数一数自己画了几条线段吗?感觉怎样?

(学生一般觉得数起来比较困难，甚至会数错!)

看来7个点的时候，要想数出来已经很困难了1100个点呢?老师觉得画图也是能够画清楚的!你有办法吗?

(可以编编号，可以先少画几个点……)

我们来试试看!

①(画2个点)两个点之间可以连几条线段?

(两个点可以连1条线段，板书：点“2”总数“1”)

②(点出第三个点)3个点呢?谁来画画看?

跟原来相比发生了什么变化?(比2个点时增加了2条线段)

谁来画画看?增加的用红色表示。

为什么会增加两条线段?

(原来有2个点，增加的点与原来的2个点都可以连一条线段，所以增加了2条线段。板书：点“3”增加“2”总数“3”)

……

[课后反思]

教学一开始就是一个开放的设计：“先把你的想法写在草稿纸上，然后跟同桌交流交流!”让学生尝试，暴露学生原有的思维状态，了解学生的学习起点。许多学生已经能够用“方法一”和“方法二”解决问题，而他们也坚信自己是正确的，急于表达自己的想法。这时候，我们不应该禁锢学生的思维和表达的意愿，因为他们有更便捷的方法，显然会对“从2个点画起”这种“繁琐”的方法没有兴趣，对于大多数的学生而言，我试教中设定的教学起点偏低，不符合他们的认知起点。回避学生的方法只会让他们感觉自己还有更好的方法，始终沉浸在自己的方法中。对其他方法没有兴趣。只有让他们把自己的想法先表达出来，再来理解其他的方法才会满足他们表达的愿望，激发他们的兴趣。因为这时候，“从2个点画起”就成为又一种新方法，需要思考和理解，学生自然又有了兴趣。

[对比思考]

回顾两次教学活动，第一次试教中比较多地关注教材的分析：“隐蔽”、“更抽象”、“难度大”都是研读教材获得的。而第二次教学中更多侧重对学习对象的分析，学生对这部分知识巨大的认知差异是在分析学习对象中发现的。

我们都知道如今课外奥数辅导可以说是铺天盖地，这一点是我们没有办法回避的现实。于是，我们可以肯定学生认知与课内知识之间有差距，而与数学广角的差距就更大了，有的学生是零起点，可以说一片空白，有的学生早已烂熟于胸，比课本知识学得深得多。在“数学思考”一课的教学中，我们既不能回避学生已有的认知水平，又不能忽视本课要向学生渗透的“化难为易”的数学思想。画图虽有局限性，点数增多的时候，画图就会变得很困难。但是，画图也是解决问题的一个好办法，我们可以在画图中找到规律，解决问题，这是画图的重要价值，通过分析画图的过程也很好地渗透了“化难为易”的数学思想。

学生学习数学的认知起点，不仅限于逻辑关系上的知识基础，而且还包含现实生活中积累的经验，即学生的现实起点。这一点越来越成为广大教师的共识。而且，学生学习渠道越来越宽了，他们在学习新知识以前往往已经有了相当丰富的生活经验和实践积累。笔者任教的是一座城市小学，我发现在许多知识的学习中，学生的现实基础都高于逻辑起点，在教学前总有学生已经能够应用已有的知识解决新授的内容。因此，我们不能把学生视为一张白纸，在研读教材的同时，充分了解学生的认知基础显得尤为重要。只有把学习活动的起点建立在学生的知识经验基础上，学生才会感到亲切、自信，从而产生认知的冲动，积极投入到学习中去，主动地建构知识。

责任编辑：陈国庆