“偷梁换柱”法巧解碰撞问题

李柏成　任春丽

1 碰撞问题中的两种重要模型

碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。高中物理所涉及的碰撞问题主要有两种模型：

（1）弹性碰撞

弹性碰撞过程具体可分为两个过程。以两球碰撞为例：开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）。

（2）完全非弹性碰撞

碰后系统内的物体以相同的速度共同运动。碰撞后系统动能不守恒且动能损失最多，根据能的转化和守恒，也就是说系统其它某种形式的能增加最多。

2 模型特征应用的“偷梁换柱”

如上所述，弹性碰撞总具有“压缩阶段”和“恢复阶段”。压缩阶段结束时碰撞的物体具有相同的速度，从这个特征看，这个过程可等效于完全非弹性碰撞。根据能的转化和守恒，此时系统的动能将向其它形式能转化最多，此为“偷梁换柱”。在解题时，直接应用这个等效的思想，使解题方便而快捷。

3 典型例题分析

（2006，全国高考理综Ⅱ）如图1所示，位于光滑水平面上的小滑块P和Q都可视为质点，质量相等。Q与轻质弹簧相连。设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于（ ）

A．P的初动能

B．P的初动能的1/2

C．P的初动能1/3

D．P的初动能1/4

分析 以光滑和弹簧的连接为条件，本题属于明显的完全弹性碰撞问题。难点在于分析弹簧何时具有最大弹性势能。

常规判断 P开始压缩弹簧时，v^P＞v^Q，弹簧被压缩，然后P因弹力作用而减速，Q因弹力作用而加速，达到速度相等以后，P继续减速，Q继续加速，使v璓＜v^Q，弹簧长度开始恢复。可见，当v^P=v^Q时，弹簧具有最大的弹性势能。

设P 的初速度为v⁰，共同运动速度为v，由动量守恒：mv⁰=2mv

窍门应用 根据能的转化和守恒，弹簧的弹性势能是由系统动能转化而来的，弹性势能最大即系统动能损失最多，根据完全非弹性碰撞特征可知，此时P、Q具有相同速度。

4 举一反三

例2 如图2所示，小车的上面由中凸的两个对称的光滑曲面组成，整个小车的质量为m，原来静止在光滑的水平面上。今有一个可以看作质点的小球，质量也为m，以水平速度v从左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又从另一个曲面滑下。关于这个过程，下列说法正确的是（ ）

A．小球滑离小车时，小车又回到了原来的位置

B．小球在滑上曲面的过程中，对小车的压力的冲量大小是mv/2

C．小球和小车作用前后，小车和小球的速度没有变化

D．车上曲面的竖直高度不会大于v²/4g

简析 由碰撞过程的动量和能量守恒可知，小球滑离小车时球的速度为v，车的速度为零，整个过程车一直向前运动，故A错C对。

球恰好到达小车的最高点时，系统有最大的重力势能，根据能的转化和守恒，系统动能转化最多，即小球和车速度相同

系统水平方向动量守恒mv=(m+m)v′，所以v′=v/2。则小球上滑过程中，车所受合力的冲量是mv/2，又系统能量守恒

答案为：C、D

碰撞问题中的模型观念固然重要，而“偷梁换柱”则是把完全非弹性碰撞的问题结论应用于弹性碰撞中，解题时不完全被模型或模型特征限制思维。这种方法的最根本的原理即为能量的转化与守恒。

(栏目编辑张正严)