谈数学思想在解题中的运用

梁清建

【摘 要】数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。数学教学必须要重视对学生数学思想的培养，要确立数学思想的主体地位，进而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想分析和解决问题的能力，以及提高学生的创新精神。

【关键词】数学思想 解题 方程思想

数学思想较数学基础知识有更高的层次和地位，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。

每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，让学生认识一种数学思想对解决什么问题有效，从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想分析和解决问题的能力。笔者现就初中数学中常用的数学思想谈几点粗浅的认识。

一、方程思想的运用

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。

用方程思想的核心是揭示题目中隐含的数量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决。

二、数形结合的思想运用

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。也就是说教师、学生都要投入到教学活动中来。学生的参与尤其重要，如果没有学生的积极参与，这样的教学活动绝不会是成功的。如定理教学是数学教学的重点。如何使学生发现定理的形成过程、定理证明思维来历，特别是辅助线的添加方法一直是教学中研究的重点。

在《三角形中位线定理》一节课的教学中，我们运用计算机辅助教学手段，采用《几何面板》软件，给学生创设了一个理想的情境，所画的三角形可以任意变化，（体现定理对于任意三角形都成立）可测算出一组同位角始终相等，中位线的长是第三边长的一半。学生经过对图形的观察很容易得到定理的结论。定理的证明实质是经过平移变换或旋转变换，将三角形图形转化为平行四边形而证明的。（几何画板）能很好地演示上述过程。所以，定理的证明思路、辅助线的添加方法都显得十分自然。在教师的引导下，学生积极地参与，整个教学过程是学生的思维步步深入的过程，达到了理想的教学效果。

数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。数形结合思想的应用分为两种情形:一种是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”；另一种是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”。运用数形结合思想解题，易于寻找解题途径，可避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透。

三、分类讨论思想运用

分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想。正确应用分类思想，是完整解题的基础。例如，在学了角的比较大小后，对于小于平角的角分为锐角、直角、钝角三类，就是分类思想的体现。同一类事物按不同标准可进行不同的分类，但在同一标准下必须做到不重、不漏。

把一个数学问题的研究对象按一定的标准分成几个部分或几种情况，化整为零，一一解决，实际上是一种“分而治之，各个击破”的策略。其步骤为:

1.确定分类对象—理解分类概念；

2.恰当合理分类—掌握分类原则；

3.逐步逐级讨论—学会分类方法；

4.综合概括叙述—培养逻辑思维。

分类讨论的原则是:对象确定，标准统一；分层次，不越级；不重复,不遗漏。

有关分类讨论思想的数学问题在数学学习过程中之所以占有重要位置，原因是它具有明显的逻辑性特点，能很好地训练一个人的思维的条理性和概括性。

四、转化化归思想的运用

复杂的问题转化为简单的问题来解，未知的问题转化为已知的问题来解……数学问题往往是在不断的转化中达到解决目的。同一个数学问题，由于观察的角度不同，对问题的分析、理解的层次不同，可以导致目标的不同与解题方法的不同，但目的只有一个—尽量做到化繁为简、化难为易、化未知为已知、化一般为特殊、化抽象为具体。

转化包括等价转化和非等价转化两种。等价转化要求转化过程中的前因后果是互相可推的。但事实上并不是所有的转化都是等价的，因此，在转化过程中，一定要注意转化前后的等价性，如出现不等价转化，则需附加约束条件。

总之，数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。任何数学难题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想是教材体系的灵魂，是教学设计的指导，是课堂教学的统帅，是解题思维的指南。把数学知识的精髓—数学思想方法纳入基础知识的范畴，是加强数学素质教育的一个重要举措。随着对数学思想方法教学研究的深入，在教学中渗透数学思想方法的实施，必将进一步提高数学教学质量。