数学探究学习中出现的错误类型及原因

孙小利

学生在数学探究学习中，出现错误是正常的。我们要引导学生学会从错误的理解中走出来，达到对问题的正确理解。错误伴随着每一个学习者，在纠正错误的过程中，自己获得发展。

一、 数学问题提出过程出现的错误

数学探究学习始于问题。根据问题情境，学生提出一个尝试性的问题，最初这种问题还不是明确、具体的，它可能在部分或整体上是错误的或存在漏洞，经过批判讨论和实验检验，消除错误的条件，理顺问题各个要素的关系，形成有意义、有价值的问题。学生对问题情境中数学信息的观察分析、对数学信息的综合、对数学信息的理解、对数学信息质疑、运用数学语言表达问题等方面容易出现错误。

二、 给出数学猜想出现错误

猜想是学生在数学探究学习中逐渐认识问题的动态过程。当学生对他们的猜想不满意时，也就是说，当他们已有的猜想不能够充分描述或解释数据、特例所反映的规律时，他们才会修正猜想。经过试探地寻找错误和消除错误，由多个猜想不断筛选，得到所谓“正确”的。试错法的运用成功与否，主要依赖于试探过多少次以及怎样试探。试探过程中，每发现一条走不通的路，都为到达成功的目标增加了可能性。数学探究学习中猜想既是一个结果，又是一个过程，它的错误表现在：

(1)猜想过程出现错误。主要表现在计算、推理等方面。在“格点多边形的面积”课例中，有的学生在数一个图形的内点数、边点数、并计算它的面积时出现错误，就是因为数点个数不准确、计算面积错误等。这直接导致学生利用数据不能总结规律，无法得到猜想。也有的是由于学生对概念本质理解错误或混淆某些概念、错误运用算法规则或相关性质等，得到错误猜想。这样的错误是明显的，只要学生认真计算、推理，就可能避免出现这类错误。

(2）尽管猜想过程是正确的，但是有的猜想结果是完全错误的，有的猜想结果存在漏洞。上海L老师执教“勾股定理”案例中，老师请大家仔细观察表中的数据，猜想一下，直角三角形三边存在哪些数量关系?小组先讨论一下，大胆地猜想，把猜想的结果全都写在工作单上。某个学生工作单上数据如下：

学生在工作单上画出4个图形，根据工作单上方格，学生得到相应的数据，将其填入表中。学生观察、比较表格中6个量的数据，得到5个猜想:a²+b²=c²，(猜想1)，2ab+1=c²，(猜想2)，a+b+a²=b²，(猜想3)，(a+b)2-2ab=c²，(猜想4)，c²=2ab+(b-a)2 (猜想5)。对于表格中的数据来说，5个猜想都是正确的，但对于其他数据来说，有的猜想正确，而有的猜想错误。下面的教学片段，是学生利用数据对猜想进行验证、发现其中错误的过程。

T：黑板上共有5个猜想。仅仅是通过4个三角形对它进行一系列计算得到的一些猜想，那么这些猜想是否适合于其他的所有直角三角形呢?我们来做一次实验，在空白网格当中，自己任意地举一个直角三角形，然后按照刚才的方法，每边向外做一个正方形，算一下a²、 b²、c²和2ab，看一下这些猜想是否依然正确。现在开始。在网格中任意画一个直角三角形，然后每边向外做一个正方形，算一下a²、b²、c²和2ab。(学生动手操作，教师巡视)

T：我看一下，很多同学都画完了，也填完了。谁来说说你的意见?刚才每个同学自己又画了一个直角三角形，然后又计算了a²、b²、c²和2ab，然后看一下这些结论是否都是成立的呢?

S9：我画的三角形，a=4、b=5。

T： 我们看一下他所画的直角三角形。直角三角形两条直角边，a是4，b是5，因此，你计算出来的结果怎样呢?

S9：我计算出来的结果是a²=16，b²=25，2ab=40，c²=41。

T： 这5个猜想是否都成立呢?

S9：都成立的。

T： 全部都是成立的。a²+b²，16+25，41对吧?另外，2ab+1=c²，40+1，的确是41。然后看一下a+b+a²=b²，4+5+16仍然是25。后面(a+b)2-2ab仍然是41，再看2ab+(b-a)2仍然是41。他举的例子发现，刚才得到的猜想都是成立的，大家都同意吗?

S10：不同意。当a=7、b=5时，a²=49，b²=25，2ab=70，a²+b²=c²等于74，2ab+1=c²就不成立。

T：a=7，b=5，2ab+1=c²不成立。我们看一下计算结果，70+1不等于74是不是?你们有没有举这样的例子?其他的都成立吗?

S10：其他的成立。

T：其他的都成立？你来说说看。

S11：我发现a+b+a²=b²不成立。

T：a+b+a²=b²不成立。你刚才举2ab+1=c²不成立?

S10：对。

T： 你上来说说好吗?你举的是怎样的一个例子？

S11：我举的两边都是4。

T：举了一个等腰直角三角形，两条直角边都是4，那么结果算下来发现怎样?

S11：结果算下来发现，2ab+1=c²不成立。

T：不成立。我们看一下，2ab 算出来是32，32就等于32，不等于32+1了，对不对?还有没有?

S11：还有。a+b+a²，4+4+16也不等于16。

T：前面三项，4+4+16也不等于16，其他的你验算过了没有?其他的成立吗?

S11：其他的成立。

通过对猜想进行验证，有的学生还是认为5个猜想是对的，而有的学生用其他数据验证，发现2ab+1=c²、a+b+a²不成立。这说明：这类错误是猜想过程中比较常见的，主要是由于在猜想过程中学生由个别特例推出一般规律。尽管学生在猜想过程中使用的数据是正确的，但是数据不充分导致错误猜想出现。通过猜想——验证——发现错误——再猜想的过程，学生不仅学会对猜想进行验证，而且还学会用反例的方法反驳猜想。

三、 证明猜想出现错误

学生在证明猜想时，要想得到正确的论证，必须扫清一系列障碍，其中的任何失误均会影响论证的进程，导致最后证明的失败。在这方面，已经有一些研究: 有人从解题过程角度提出错误的层级，将其分为5个水平：阅读、理解、转换、加工技能、编码。理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意义，操作技能的错误指的是与算法有关的错误，编码错误指的是书写错误，如笔误等。

(如皋市如城镇许庄初中)