万有引力知识的另类复习法

傅腊生　曾菊宝

一题多解及多变是学好高中物理的一种切实有效的方法。一题多解就是从不同角度用所学知识挖掘问题中所涉及到的基础知识以及各知识点间的联系，运用不同的方法来解决同一问题的方法；而一题多变则是将某一问题变换条件或改变某一关键词而使得题目发生变化，在高考命题中的陈题翻新就属这类问题，它有助于培养学生的发散思维能力，有利于完善我们的物理知识体系，避免陷入题海，能收到举一反三，触类旁通之功效。

下面举例说明：

【例1】 能发射周期为80 min的人造地球卫星吗？

在人造卫星的发射中，要想发射一颗80 min绕地球一周的卫星，为什么是不可能的？试说明理由。

一、从卫星的周期入手讨论

设人造地球卫星的质量为m，运转周期为T，轨道半径为r，地球的质量为M，万有引力常数为G，根据卫星绕地球转动的向心力就是地球对它的引力，有：mr＝G

可得：T＝2π，由周期公式可以看出，卫星轨道半径r越小，周期也越小，当卫星在地球表面附近运动时，即r＝R＝6.4×106 m，周期最小，此时：

T＝s＝5.1×103 s＝85 min

可见，T大于80 min，所以想发射一颗周期为80 min的卫星是不可能的。

二、从卫星运动的轨道半径入手讨论

假设卫星的周期为80 min，则轨道半径

r3＝＝m3≈2.3×1020m3，所以r≈6.2×106 m＜R

显然，不可能发射一颗这样的卫星。

三、从地球提供的向心力入手讨论

地球对人造卫星所提供的向心力为：F＝G，T＝80 min时卫星所需的向心力为： f＝

当r＝R＝6.4×106 m时，F＝≈9.8 m

f＝＝≈10.96 m

当r＝R时，地球对卫星所能提供的向心力最大，而卫星所需的向心力最小，又由上分析可知F＜f，因此，要发射一颗周期为80 min的卫星是不可能的。

四、从卫星的环绕速度入手讨论

设卫星绕地球运转的环绕速度为v，则有G＝m，得出：v＝

由公式可知：r越小，环绕速度越大，当r＝R＝6.4×106 m时，卫星环绕地球的速度最大

v＝＝m/s≈7.9×103 m/s

若地球卫星的周期为80 min，则其绕地球的线速度为：

v＝=m/s≈8.4×103 m/s

由此可见：v＞v，显然，不可能发射一颗周期为80 min的地球卫星。

像这样多角度分析问题，既能激发思维、开阔视野，又能将所学知识灵活运用，更能使学习变得轻松有趣。

【例2】 同步通讯卫星是进行现代通讯的重要工具，我国在同步卫星发射方面已取得了令世人瞩目的辉煌成就，进入了世界航天大国的行列。

如图1所示为发射同步卫星过程示意图，发射时，先将卫星发射至近地圆轨道1；然后点火，使其沿椭圆轨道2运行；最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。

（1）当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，试比较卫星在轨道3上的速率与在轨道1上的速率的大小，以及卫星在轨道2上经过P点时的加速度与它在轨道3上经过P点时的加速度大小。

（2）有人认为在同步轨道上均匀分布三颗同步通讯卫星，就可实现全球卫星通讯，请你分析讨论这一观点正确与否。

【分析】 同步卫星与一般的卫星有共同点，也有不同点，共同点是：它们都是在地球对其万有引力作用下的圆周运动；不同点是：一般卫星的轨道无特殊要求，只要轨道平面过地球的球心即可，而同步卫星的轨道要求较严，它的轨道平面不仅要通过地球的球心，而且要与赤道平面重合，如果不与地球的赤道平面重合，就不可能实现与地球的自转同步。

（1）当卫星分别在1、3轨道上正常运行时，都是在地球对其万有引力的作用下的圆周运动，即有

G=m，则得卫星的速率为v=

由上式可得，卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率。

又因为同一颗同步卫星在轨道2上经过P点与它在轨道3上经过P点时所受的地球的引力是相等的，由牛顿第二定律显见，这两个加速度是相等的。

（2）同步卫星的轨道平面不仅要与地球的赤道平面重合，而且其轨道的高度也有严格的要求，该高度可由万有引力提供向心力求得，即

G=m（R+h）

式中，M为地球的质量，R为地球的半径，T为同步卫星的运行周期，即等于地球的自转周期（可取24 h）。

整理代入有关数据得h＝3.587×104 km。

在同步轨道上互成120°均匀分布三颗同步通讯卫星，能否实现全球卫星通讯？这要看三颗同步卫星能否覆盖到地球的每一个角落。为此，我们不妨从卫星处作与地球相切的两条直线，如图2，根据上述计算，同步卫星的高度不是无限大，所以这两根切线不可能通过地球的南北极点M、N。由此可见，不管在同步轨道上发射多少颗卫星，都不可能完全覆盖全球。

【变题】 如果为实现全球观测而发射非同步卫星，至少需要多少颗卫星？

现有一颗侦察卫星在通过地球两极的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来。卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。

【错解】 如图3所示 ，则有cosθ=

所以θ＝arccos，又因为=

故L＝2Rarccos

【错因分析】 该弧长是拍摄的最大弧长，而实际拍摄的弧长是小于该弧长的任意值。

【正确解析】 如果周期是12小时，每天能对同一纬度地区进行两次观测。如果周期是6小时，每天能对同一纬度地区进行四次观测。如果周期是小时，每天能对同一纬度地区进行n次观测。

设卫星运行周期为T1，则有G=m

物体处在地面上时有=mg

解得：T1=，在一天内卫星绕地球转过的圈数为，即在日照条件下有次经过赤道上空，所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为L==T1，将T1结果代入得

L=。

【小结】 某天体绕另一个中心天体做匀速圆周运动时，运用万有引力定律解天体问题实际上就是运用牛顿第二定律解圆周运动，归属于圆周运动的动力学问题，只不过这里由万有引力来提供向心力。应用万有引力定律来解决天体（包括自然天体和人造天体）的有关问题， 主要基于两个等量关系：

①对中心天体表面物体G=mg （式中R为中心天体半径，g为表面重力加速度，题中不涉及表面重力加速度时，则不涉及此式）。

②对绕行天体 G=m=mω2r=m（式中r为绕行天体到中心天体的球心间距）。

【例3】 1968年2月20日，发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋。“和平号”风风雨雨15年铸就的辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章。“和平号”空间站总质量137 t，工作容积超过400 m3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称。在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次。“和平号”空间站正常行动时，距离地面的平均高度大约为350 km。为了保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制。在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km。在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km。

设“和平号”空间站正常运行时沿高度为350 km圆形轨道运行，坠落前在高度240 km的指定圆形低空轨道运行。而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此，计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理。

（1）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字。

（2）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R=6.4×103 km，计算结果保留一位有效数字。

【分析】 （1）不管空间站沿正常轨道运行，还是沿指定低空轨道运行，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G=ma，

所以空间站运行时向心加速度是a=G，空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值是==2=0.9842=0.97

（2）万有引力提供空间站运行时的向心力，有

G=mr

不计地球自转的影响，根据G=mg，有GM=R2g

则空间站在指定的低空轨道运行的周期T=

2πr=2πr==

≈5.3×103 s。设一昼夜的时间为t，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n===17，空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小Δh=km=km=0.2 km。

【跟踪训练】

1. 2005年最壮观的天文现象莫过于金星凌日，金星是太阳系里唯一逆向自转的行星，金星上太阳西升东落，人们称金星为太阳的“逆子”就是这个原因。如图4，金星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内的逆时针方向的匀速圆周运动。已知金星和地球公转的半径分别为1.1×108 km、1.5×108 km。从如图4所示的金星与地球相距最近的时刻开始计时，估算金星再次与地球相距最近需多少地球年？（地球公转周期为1年）

2. 已知地球上物体的逃逸速度（第二宇宙速度）为v2=，其中G、m、R分别是万有引力常量、地球的质量和半径。已知G＝6.67×10－11 N•m2/kg2，c=2.9979×108 m/s。

（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m＝1.98×1030 kg，求它的可能最大半径。

（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10－27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？