基于无下采样的正交小波变换的阈值去噪方法

董 勇 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023；武汉理工大学理学院，湖北 武汉 430070)

李梦霞，陈 忠 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

基于无下采样的正交小波变换的阈值去噪方法

董 勇 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023；武汉理工大学理学院，湖北 武汉 430070)

李梦霞，陈 忠 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

现行的小波阈值去噪算法中，都包含采样的操作，但下采样导致信号所含信息出现丢失，上采样则引入新的畸变。为克服这些不足之处，提出了基于无下采样的正交小波变换的阈值去噪方法，并在Matlab6.5环境下给出了具体的算法。并进行了数值试验。试验结果表明，取消下采样的操作，可以提高信噪比，减小最小均方误差，使去噪效果得到了明显改善。

正交小波变换；下采样；阈值；去噪；信噪比；最小均方误差

去除噪声一直是信号处理中的重要内容。基于小波变换的阈值去噪的概念是D.L.Dohono[1，2]提出来的，在Besov空间中，该方法在最小均方误差意义下优于其它任何线性形式。其实现过程是借助于滤波器组进行子带编码完成的。对信号进行低通滤波和高通滤波，分别得到信号的低频近似小波系数和高频细节小波系数，在一定的条件下，认为近似系数主要是由干净信号本身产生的，而细节系数一方面来至于信号本身的细节特点，比如边缘等。另一方面来至于噪声。当细节系数小于某个临界阈值时，认为主要是由噪声引起的，予以舍弃；当细节系数大于某个临界阈值时，认为主要是由信号引起的，那么把这部分的细节系数直接保留(硬阈值方法)或者按某一个固定量向零靠拢(软阈值方法)，然后用新的小波系数进行重构，得到去噪后的信号。其中，这样的处理过程可以针对近似信号多次进行。

小波变换对应的子带编码的分解和重建过程[3](只进行一次分解)如图1所示。

注： x(n)：含噪信号；y(n)：重建信号；H0(z)：分解低通滤波器；H1(z)：分解高通滤波器； G0(z)：重建低通滤波器；G1(z)：重建高通滤波器；↓2：下采样；↑2：上采样。图1 小波的分解与重建示意图

以一次分解为例，阈值去噪就是对下采样后的v1(n)进行阈值处理，再经过上采样，卷积滤波，对卷积结果取合适的部分加和，就得到了去噪后的重构信号y(n)。其中有下采样的操作，对于正交小波变换，低频子带小波系数的下采样与高频子带小波系数的下采样一般都取奇数项；对于双正交小波变换，低频子带小波系数的下采样与高频子带小波系数的下采样一般前者取奇数项，后者取偶数项。一方面，进行下采样的目的是：使信号在小波变换前后数据量保持不变，这样可以减少计算量和存储量。但并不涉及变换本身。另一方面，小波分解后的高频细节系数仍然含有信号的有用信息，进行下采样，不可避免的会丢失信号的部分有用信息(这也是双正交小波变换分别下采样时分别取偶数项和奇数项的原因)，自然会影响阈值处理的结果。基于以上考虑，笔者采用无下采样的正交小波变换来进行阈值去噪。

1 算 法

下面给出基于正交小波变换的硬阈值去噪的算法(针对分解一次，阈值处理一次)。

Step1(1)读入含噪信号：

loadx(n)；(记为x(n)=[x1,x2,…,xN] )

(2)读入分解低通滤波器系数，并计算得到完美重建滤波器组系数：

loadH0；(记为H0=[h01,h02,…,h0L)

F0=fliplr(H0)；(得到F0=(h0L,h0L-1,…,h01] )

fori=1∶1∶L

H1(i)=F0(i)*(-1)^(i+1);

end

fori=1∶1∶L

F1(i)=H0(i)*(-1)^(i);

end

(得到H1=[h0L,-h0L-1,h0L-2,-h0L-3,…]，F1=[-h01,h02,-h03,h04,…])

Step2分解含噪信号x(n)：

(1)x周期延拓：x0=[xN-L+2,…,xN,x1,x2,…,xN,x1,x2,…,xL-1]；

(2)低通滤波：ca0=conv(x0,H0)；ca=caa(L∶N+L-1)；

(3) 高通滤波：类似(2.2)的做法，计算x0经H1滤波的结果cd。

Step3对cd硬阈值处理去噪：

(1) 对cd中元素取绝对值，搜索其中值cdz。

(3) 处理：对i=1,2,…,N，如果cd[i]≤yita，cd[i]=0；否则，不变。

Step4合成：

(1)ca及cd周期延拓：

ca1=[caN-L+2,…,caN,ca1,ca2,…,caN,ca1,ca2,…,caL-1]

cd1=[cdN-L+2,…,cdN,cd1,cd2,…,cdN,cd1,cd2,…,cdL-1]

(2)滤波：

rca1=conv(ca1,F0)rca=rca1(2L-1∶2L-2+N)

rcd1=conv(cd1,F1)rcd=rcd1(2L-1∶2L-2+N)

(3)加合：y(n)=rca+rrcd。

说明：①对上述算法稍作修改，可以实现对含噪信号进行多层分解，分别硬阈值去噪，再重建去噪后信号。 ②可以对上述算法中的Step3进行修改，得到其他的阈值处理方式对应的算法，如软阈值去噪的算法等。

2 试 验

采用输出信噪比(SNR)和最小均方误差(MSE)作为去噪性能指标：

图1 去噪效果图

性能指标去噪方法有下采样无下采样SNR102634111207MSE0876107155

从图1可以看出，基于无下采样的正交小波变换的硬阈值去噪的结果要更为光滑一些。从表1的性能指标也可以看出，笔者提出的方法确实提高了信噪比，减小了最小均方误差。究其原因，是取消了下采样的操作，保留了信号更多的有用信息。

[1]Donoho D L,Johnston I M.Ideal Spatial Adaptation Via Wavelet Shrinkage[J].Biometrika,1994,81(12): 425～455.

[2]Donoho D L. De-noising by Soft-thresholding[J]. IEEE Trans on IT,1995,41(3):613～627.

[3]张旭东，卢国栋，冯健.小波压缩技术-原理、算法和标准[M].北京，清华大学出版社，2004，3:206～207.

[4]Grace Chang S，Bin Yu，Vattereli M. Adaptive Wavelet Thresholding for Image Denoising and Compression[J]. IEEE Trans Image Processing，2000，9(9)：1532～1546.

[编辑] 洪云飞

TN911.72

A

1673-1409(2009)01-N010-03

2008-12-23

国家自然科学基金项目(40572078/D0206)；教育部重点实验室开放基金项目 (K200609)；石油科技中青年创新基金项目(2002f70104)；湖北省教育厅(A类)重点项目(D200512001)。

董勇(1980-)，男，2002年大学毕业，助教，硕士生，现主要从事小波分析理论及应用方面的教学与研究工作。