水准点稳定性F检验法与t检验法异同的研究

张 勇 朱郭勤

(西南交通大学测量工程系, 四川成都 611756)

稳定的基准网是变形监测的关键所在,但实际上,除了设置在基岩上的标志以外,在冲积层及一些土质差的地区所设置的水准点,即使被埋设的很深,也不能认为它们一定是稳定的。国内外还有很多的膨胀土地区,在这些地区设置的水准点,也难以保持稳定不动；还有变形区域很大或变形影响范围难以确定的情况。

在这些情况下,不能无根据地以某一点作为起算点,而应根据重复观测的成果分析水准点的稳定性,从中找出较为稳定的水准点作为计算位移值的依据。通常情况下不同检验法得出的结论不一定是完全相同的,例如F检验法和t检验法得出的结果就可能不同。

1 数学模型

1.1 秩亏自由网平差模型

在控制网按间接平差中,通常有足够的起算数据,待定参数是点的坐标,他们是非随机参数,平差的数据模型是

L=BX+Δ

(1)

模型(1)的系数B阵为满秩时,则为经典的间接平差,如果出现系数阵B秩亏,那么就是相应的秩亏自由网平差。

秩亏自由网平差的函数模型为

L=BX+ΔR(B)=r

(2)

B的列亏数d=t-r,随即模型为

(3)

模型(2)的误差方程为

(4)

(5)

(5)式中N=BTPB,N+为N的伪逆,P为观测值权阵。

1.2 F检验法的一般步骤

(1)两周期观测同一性的检验(第一步)

由每一期秩亏自由网平差的改正数可以计算该期的单位权方差

(6)

假设两周期单位权方差无显著差异(即等精度观测),将数值较大者作为分子,计算统计量

？≤F(α,f1,f2)

(7)

式中α为显著水平(一般取0.05),f1,f2为第一和第二自由度,F分位值可以查表或通过函数计算得到。如果上式成立,则接受原假设,认为两周期观测无显著差异；否则认为两周期观测不是等精度观测(可能其中一期测量误差过大),因而不能直接比较其坐标差异。

(2)计算两周期观测的综合单位权方差(第2步)

(8)

(3)计算间隙d的单位权方差(第3步)

每期观测分别作秩亏自由网平差求得各水准点的高程,则间隙

(9)

间隙d的协因数阵为Qd=Q1+Q2,由间隙d可按下式计算单位权方差

(10)

式中h为Qd的秩。

(4)作统计量进行整体检验(第4步)

(11)

如果上式成立,则认为网中水准点都是稳定的；反之,认为网中存在动点。

(5)采用“尝试法”找出网中的动点(第5步)

将网中水准点划分为两组,即稳定点组F和动点组M,对间隙d及其权阵Pd作相应的分块,即

(12)

为把分成稳定点影响和动点影响两个统计独立的部分,采用如下变换

(13)

1.3 t检验法的一般步骤

t检验法是用来作单点位移显著性检验的一种常用的方法,它的前提是两期的观测精度相同,为此,需对两期观测数据做F检验。

第1,2步同F检验法。

第3步：

构造t检验量

？≤tα/2

(14)

自由度f=f1+f2,i为水准点编号

若不等式成立,则认为点位稳定,否则认为点位变化显著。

由上面所述,F检验法是一种整体检验的方法,如果经检验其结果为点位变化显著,实际上指的是平均点位,并不见得全部网点的点位变化都是显著的。此时,欲用F检验法检验每个网点的稳定性,则要逐个剔除动点并做重复计算,而t检验法是一种单点检验的方法。

通常情况下,间隙差越大的点其为动点的可能性越大,比较不同检验法的优劣程度是很困难的,也不能进行直接比较,但是我们可以定义一个相对统计量来进行比较,计算检验法的相对统计量,其大者为最好[6]。现在根据相关模型计算,得到t检验法的相对统计量大于F检验法,说明t检验法剔除异常值的能力大于F检验法,故t检验法的检查的更加严密,其剔除点数一般要大于等于F检验法。下面以一个实例来说明。

2 算例

有一水准点组,如图1,对其进行两期观测,观测数据见表1。发现其中有不稳定的水准点,现分别用F检验法和t检验法对其进行检验。

表1 观测数据

图1 水准点网

根据观测数据,进行分期秩亏自由网平差,其结果如下：

第1期

V1=(1.63 -2.30 2.50 -1.83)Tmm

-0.13 -0.17)Tmm

Qxx1=

第2期

V2=(-0.10 0.00 0.10 -0.20

-0.10 0.00 )Tmm

Qxx2=

H2=(7.472 1 7.498 0 7.542 7 7.807 4)Tm

2.1 F检验法

根据(7)式

两周期观测无显著差异,故进行下一步分析。

根据(9)(10)式得到

d=(0.42 0.24 0.15 -0.8)Tm

根据(8)式得到综合单位权方差

根据(11)式得到

F(0.05,4,6)=4.53

得出存在动点。

表2 假设动点号与相关值

再根据(11)进行假设检验

F(α,h,f1+f2)=F(0.05,4,6)=4.53

认为通过检验。

故进行F检验法,检验出4号点为动点。

2.2 t检验法

根据(14)求出每个点的t检验量(如表3)。

表3 各点t检验量

3 结论

算例中,分别运用F检验法与t检验法对一组水准点进行检验,F检验法得出4号点为动点,将其剔除后便通过检验。t检验法得出1,4号为动点。这里两种方法得出不同的结论,这是说明了不同的检验法对同一个实例可能得出不相同的结论,同样也说明了t检验法剔除点数一般要大于等于F检验法的问题,笔者也从大量实验数据中看出此现象。

t检验法虽然算法简单而且更能够检测异常值,但是其有时过分的严格检验把一些沉降量稍大的也认为是动点,其检测思想单一,这点没有F检验法检验充分。故从得到结论的可靠性方面讲,F检验法是最合理的,从检测速度及尽可能多的剔除异常值方面讲,t检验法较F检验法合理。

[1]张正禄，等.工程测量学[M].武汉：武汉大学出版社,2005

[2]武汉大学测绘学院测量平差学科组. 误差理论与测量数据处理[M].武汉：武汉大学出版社,2007

[3]邱卫宁，陶本藻，姚宜斌，等.测量数据处理理论与方法[M].武汉：武汉大学出版社,2008

[4]王光伟，马 莉.拟稳平差及假设检验在高层建筑物沉降观测中的应用[J].化工施工技术,1996(6)

[5]汤均博，周 立.基于matlab的拟稳平差法在沉降观测基准点检验中的应用[J].淮海工学院学报,2003(9)

[6]王文周.未知σ,t检验法剔除异常值最好[J].四川工业学院学报,2000(3)