函数组的广义线性相关性

杨建华,柳翠华

(1.武汉工程大学理学院,湖北 武汉 430074；2.武汉工程大学智能机器人湖北省重点实验室,湖北 武汉 430074)

文献[1]给出了数列组的齐次线性相关性,文献[2～5]给出了函数组的线性相关性,但其具有很大的局限性,例如函数组A:f(x)=x,g(x)=2x+1,显然有很强的线性相依关系,但此函数组不是线性相关的.为此,有必要将函数组线性相关的概念加以延伸,使之具有更广泛的适应性.本文借用文献[2]中数列组的广义线性相关性的概念,提出了函数组的广义线性相关性.

1 定 义

定义1定义在区间I上的n个函数y1(x),y2(x),…,yn(x)称为一个函数组.

定义2给定函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x),对任何一组实数k1,k2,…,kn称

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)

为函数组A的一个线性组合;称

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a(a为常数)

为函数组A的一个广义线性组合,其中k1,k2,…,kn称为这个线性组合的系数.当a=0时,称为齐次线性组合；当a≠0时,称为非齐次线性组合.

定义3如果函数y(x)为函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)的一个广义线性组合,即存在一组实数k1,k2,…,km,以及常数a,使得

y(x)=k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a

则称函数y(x)可以由函数组A广义线性表出(或广义线性表示).当a=0时,称函数y(x)可以由函数组A齐次线性表出(或齐次线性表示)；当a≠0时,称函数y(x)可以由函数组A非齐次线性表出(或非齐次线性表示).

定义4[3-5]设A:y1(x),y2(x),…,yn(x)为一定义在区间I上的函数组,如果存在n个不全为零的数k1,k2,…,kn,使得当x∈I时有恒等式

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0

成立,那么称函数组A在区间I上线性相关;否则称线性无关.

定义5设A:y1(x),y2(x),…,yn(x)为一定义在区间I上的函数组,如果存在一组不全为零的实数k1,k2,…,kn,以及常数a,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

则称函数组A在区间I上广义线性相关,当a=0时,称函数组A齐次线性相关；当a≠0时,称函数组A非齐次线性相关;否则称函数组A广义线性无关.

显然,(1)如果函数组A中含有常数函数C,则函数组A一定广义线性相关.

(2)函数组A广义线性无关的充分必要条件为:对任意常数a,如果存在一组数k1,k2,…,kn,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

则k1,k2,…,kn一定全为零,即k1=k2=…kn=0.

进而有函数组A广义线性无关的充分必要条件为:如果存在一组数k1,k2,…,kn,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)≡0

则k1,k2,…,km一定全为零,即k1=k2=…=kn=0.因此有

(3)广义线性无关的函数组一定齐次线性无关.

(4)齐次线性相关的函数组一定广义线性相关.

定义6如果函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)中,存在r(0≤r≤n)个函数yi1(x),yi2(x),…,yir(x)(称为A的子函数组)满足:

(1)yi1(x),yi2(x),…,yir(x)广义线性无关；

(2)函数组A中的任何一个函数都可以由yi1(x),yi2(x),…,yir(x)广义线性表出,则称这r个函数所构成的函数组yi1(x),yi2(x),…,yir(x)为函数组A的一个广义极大线性无关组,其中r称为函数组A的秩,记作R(A),即R(A)=r.

定义7设A:y1(x),y2(x),…,yn(x),B:z1(x),z2(x),…,zm(x)为两个函数组,如果函数组B中的任一函数都可以由函数组A广义线性表出,则称函数组B可以由函数组A广义线性表出.

定义8设A:y1(x),y2(x),…,yn(x),B:z1(x),z2(x),…,zm(x)为两个函数组,如果函数组A与B可以相互广义线性表出,则称函数组A与B广义等价.

2 定 理

定理1函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性相关的充分必要条件为函数组A中至少有一个函数可以由其余的函数所构成的函数组广义线性表出.

证明(充分性)如果函数组A中有某个函数,比如yn(x)可以由其余的函数广义线性表出

yn(x)=k1y1(x)+k2y2(x)+…

+kn-1yn-1(x)+a

则

k1y1(x)+k2y2(x)+…+

kn-1yn-1(x)-yn(x)+a≡0

即函数组A广义线性相关.

(必要性)如果函数组A广义线性相关,则存在一组不全为零的数k1,k2,…,km,不妨设km≠0,以及常数a,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

则

…+kn-1yn-1(x)+a)

即函数yn(x)可以由其余的函数y1(x),y2(x),…,yn-1(x)广义线性表出.

定理2函数组A:y1(x),y2(x),yn(x)广义线性相关的充分必要条件为函数组A的秩小于,即R(A)

证明充分性显然,下证必要性.

设函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性相关,即存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn,不妨设kn≠0,以及常数a使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

则

…+kn-1yn-1(x)+a)

即函数yn(x)可以由其余的函数y1(x),y2(x),…,yn-1(x)广义线性表出.而其余的函数当然可以由其自身广义线性表出,因此,由定义函数组A的秩R(A)

推论函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性无关的充分必要条件为它的秩R(A)=n.

定理3函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)与其任一个广义极大线性无关组等价.

证明不妨设A0:y1(x),y2(x),…,yr(x)为其一个广义极大线性无关组,显然,函数组A0可以由函数组A广义线性表出,反过来,由定义6可知,函数组A可以由A0广义线性表出,所以A与A0广义等价,即函数组A与其一个广义极大线性无关组等价.

定理4函数组B:z1(x),z2(x),…,zm(x)可以由函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)线性表出的充分必要条件是A的秩等于由A组和B组所构成的新的函数组C:y1(x),y2(x),…,yn(x),z1(x),z2(x),…,zm(x)的秩,即R(A)=R(C)=R(A,B).

证明设A0:yi1(x),yi2(x),…,yir(x)为函数组A的一个广义极大线性无关组.

充分性:由R(A)=R(C)=R(A,B)知,A0也为C的一个广义极大线性无关组,所以,C中的任一函数都可以由A0广义线性表出,由此可知函数组B中的任一函数都可以由A0广义线性表出,进而可以由函数组A广义线性表出.

必要性:设函数组B可以由函数组A广义线性表出,而函数组A可以由A0广义线性表出,因此函数组C可以由A0广义线性表出,所以,A0为函数组C的一个广义极大线性无关组,所以C的秩等于函数组A的秩,即R(A)=R(C)=R(A,B).

定理5如果函数组B:z1(x),z2(x),…,zm(x)可以由函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性表出,则函数组B的秩不超过函数组A的秩,即R(B)≤R(A).

证明由定理4有R(A)=R(A,B),而R(B)≤R(A,B),所以R(B)≤R(A).

定理6如果函数组A与函数组B广义等价,则A的秩等于B的秩,即R(A)=R(B).

证明由定理5及函数组广义等价的定义即知结论成立.

定理7如果函数y1(x),y2(x)广义线性相关,且系数都不为零,即存在全不为零的实数k1,k2使得k1y1(x)+k2y2(x)+a≡0,则y1(x),y2(x)的极限同时存在或者同时不存在.

证明由极限的运算性质即得.

定理8如果函数组A广义线性相关,且A中的任一函数的极限存在,则它的任一广义线性组合的极限也存在,且等于极限的相同广义线性组合.

证明由定义5及极限的运算性质即得.

证明因为函数组A:y1(x),y2(x),…,yn(x)广义线性相关,所以存在一组不全为零的数k1,k2,…,km,以及常数a,使得

k1y1(x)+k2y2(x)+…+knyn(x)+a≡0

因此

有非零解,故系数行列式

3 例 题

例1函数组A:x,2x,3x+1广义线性相关,函数x为A一个广义极大线性无关组,同样函数x和3x+1也分别都是A的广义极大线性无关组.

例2证明函数组A:x,x2广义线性无关.

证明如果存在一组数k1,k2,以及常数a使得

k1x+k2x+a=0

则分别取x=1,x=2,x=3,得方程组

其只有零解,k1=k2=0,(a=0),所以函数组A广义线性无关.

当x→∞时也收敛,且有极限0k1+1k2+a=k1+a.

当x→∞时有极限为0.

参考文献：

[1]杨建华.数列组的齐次线性相关性[J].武汉工程大学学报,2009,31(9)：84-85,88.

[2]杨建华.数列组的广义线性相关性[J].武汉工程大学学报,2009,31(12)：79-81,

[3]叶彦谦.常微分方程讲义[M].北京:人民教育出版社,1981:140,

[4]中山大学数学力学系常微分方程组.常微分方程[M].北京:人民教育出版社,1979:92.

[5]同济大学应用数学系.高等数学第五版 (下册)[M].北京:高等教育出版社,2002:296.