推导引力场传播子的一种对称性方法*

方锡岩, 冯开喜, 江云峰, 黄伟聪, 张宏浩

(中山大学 物理科学与工程技术学院，广东 广州 510275)

最近10多年来, 额外维模型成为粒子物理与宇宙学领域的一个重要热点研究课题[1-5]。作为超出标准模型的新物理模型候选者之一, 额外维模型具有如下的一些优点: ①它能提供统一引力与基本粒子的规范相互作用的理论框架。早在20世纪20年代, Kaluza和Klein就先后独立地注意到5维的引力理论可以统一4维引力与电磁相互作用。后来人们发现非阿贝尔规范相互作用与4维引力也可以被高维的引力理论所统一描述。②它为引力的量子化所需要。引力的量子化是一项非常困难的非平庸的工作。目前量子引力理论的很有希望的候选者之一, 超弦理论(或M理论), 只有在10维(或11维)时空下才能自恰地建立。③它可以解释标准模型中的等级(hierarchy)问题。等级问题指的是假如标准模型一直在大统一能标或者Plank能标之下都仍然成立的话(即超出标准模型的新物理的能标至少在1015GeV左右), 那么Higgs标量粒子质量的一圈图辐射修正就需要精确调节来得到其物理质量, 然而在最近的额外维模型中可以避免这种情况出现, 例如在文献[1]提出的大的额外维模型中, 4维时空的有效的Plank质量可以降低到TeV(即103GeV)左右的能标(即在TeV能标就会出现新物理), 这样Higgs粒子质量的辐射修正就不再需要精确调节, 因而解决了等级问题。④此外, 它还可以解释宇宙学常数等问题。

在额外维模型中, 额外的空间维度往往是紧致化的。通过文献中的维数消减(dimension reduction)方法, 可以从高维时空的作用量推导得到在四维时空的有效作用量, 这样得到的有效作用量所包含的物理自由度不单含有通常的零质量的自旋为2的引力子, 也有一系列的有质量的自旋为2的引力子(文献中通常称之为Kaluza-Klein引力子, 以下简称为KK引力子), 并且这一系列的KK引力子的质量一般按照等差序列递增的。今天之所以尚未观测到KK引力子, 人们一般认为是因为最轻的KK引力子的质量已经很重, 超出了当前对撞机实验的探测范围, 但它们很有可能在已经开始运行的大型强子对撞机(LHC)上被探测到。有质量的KK引力子一旦被实验探测到, 将是支持额外维模型的证据, 这将成为物理学革命性的发现, 并将极大地推动人类社会科技的进步。在国内外的一些广义相对论著名教材中[6-9], 对KK引力子甚至零质量引力子的传播子的讨论都尚未涉及, 在文献[10]中对此虽然有所讨论, 但所用到的方法比较繁琐, 本文将给出一种新的简明的推导一般的引力场传播子的对称性方法, 分别应用于推导有质量的KK引力子和通常的零质量引力子的传播子, 并与文献[10]所得结果进行对比。

1 有质量的KK引力场的传播子

L=Lkin+Lmass

(1)

其中

(2)

(3)

这里使用了爱因斯坦求和法则, 即重复指标代表求和。通过Fourier变换并对张量指标作对称化, 还可以将(1)式写成在动量空间的对称的二次型的形式:

(4)

其中二次型的内核(kernel)为

(5)

表1 hμν与ψi的指标对应

(6)

Aμν,αβ≡δμνδαβ

(7)

(8)

(9)

Dμν,αβ≡kμkνkαkβ

(10)

显然恒等算符Iμν,αβ与其它模块的乘积都是其它模块本身, 即IA=A,IB=B,IC=C,ID=D。还需要求出其它模块之间的乘积关系。例如:

δρβkσkα+δσαkρkβ)=

δμνkαkβ=Cμν,αβ(经对称化后)

(11)

(12)

为简化符号, 可将(11)式或(12)式记为

AB=C

(13)

同理,还可以求出其它的乘积关系(在经对称化的意义成立)如下:

AA=4A

(14)

(15)

AD=k2C

(16)

(17)

(18)

BD=k2D

(19)

(20)

(21)

DD=k4D

(22)

现在可将(5)式给出的Vμν,αβ写为这些模块的线性组合:

(23)

设传播子V-1=xI+aA+bB+cC+dD, 其中x,a,b,c,d是待定系数。根据V-1V=I以及前面推导得到的对称性模块之间的乘积关系, 可求得:

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

代入这些待定系数, 就得到了传播子V-1, 它的显式是

(29)

上式即是有质量的KK引力场的传播子表达式, 这与文献[10]给出的结果完全一致。从上面的推导过程可看出, 对称性方法比该文献所介绍的改写指标的方法要简便得多。

2 零质量的引力场的传播子

L=Lkin+Lgauge-fixing

(30)

其中动能项仍然由(2)式给出, 而规范固定项为

(31)

(32)

其中

(33)

(34)

(35)

这一结果也与文献[10]给出的结果吻合。

3 结 语

通过对称性构造出(6-10)式的5个基本模块, 并求出它们两两之间的乘积关系,再将在拉氏量中的引力场二次型的内核写成这5个基本模块的线性组合, 并根据传播子(即内核的逆算符)也满足相同的对称性, 因此它也可以写成这些基本模块的线性组合, 可通过待定系数法求出来。我们通过这种对称性方法分别推导得到了有质量的KK引力场和零质量的引力场的传播子, 所求得的结果与文献[10]中的结果一致, 该方法要比文献[10]提到的将引力场的独立分量进行重新编号再求10×10矩阵的逆的方法要简单得多, 可操作性也好很多, 因为文献[10]提到的那种方法对于内核中含有动量分量指标的时候将遇到一些困难。此外, 这里介绍的推导传播子的对称性方法也可用以求解其它自旋的粒子(如自旋为1的规范场)的传播子。除了零质量的引力子之外, 有质量的KK引力子的存在是从额外维模型约化到4维时空的有效理论的后果之一, 而额外维模型作为可以统一引力相互作用与基本粒子的规范相互作用的候选者, 它不单有美学的欣赏价值, 而且很有可能是真实存在的, 它在LHC上将有可能得到验证。本文讨论的引力场传播子仅限于其在动量空间的形式，进一步探讨其在坐标空间的解析表达式可参照文献[11]的作法。

参考文献：

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[10] VELTMAN M J G. Quantum theory of gravitation [M].France:Les Houches,1975.

[11] 方锡岩，冯开喜，丘斯伟，等. 关联函数解析式的另一种推导方法 [J]. 中山大学学报：自然科学版，2010，49(3)：152-154.