中心差分法在燃气管道动态模拟中的应用*

高兰周 侯根富 王 东

0 引言

天然气长输管线不稳定流动的基本方程组可以利用分离变量的方法求出解析解,但是要通过简化和复杂的数学变换,求解比较复杂。而且求解的结果与实际运行中的管道有一些差别。如果利用数值求解,就不存在上述问题。

在对本问题的数值解法中,有特征线法、隐式差分法和显示法等。对于特征线法,可将管道上的偏微分方程化为特征差分方程,不用求解庞大的非线性方程组,占用较少的计算机内存,易于求解,计算速度快,但为了满足求解的稳定性,时间层次往往取得很小。然而,对于天然气管网系统而言,由于气体的可压缩性,其出现不稳定程度要比液体管道出现的不稳定程度小得多,因而时间层次取得过小没多大的意义,还会浪费计算时间。对于隐式差分法,由于要将待求时间层次上所有的未知量联立起来进行求解,需要求解的非线性方程组非常庞大,求解需要较长的时间。但是这种方法能够保证求解的稳定性,时间步长可取得较大[1]。

1 数学模型的建立

天然气长输管线的管径在很长的距离上是不变的,因此垂直于流线的气体特性变化率同沿着流线的变化率相比可忽略不计,而且管道的曲率半径比管道的直径大得多,因此流动可以看作是一元流动,在管道任意一截面上所有流体参数都可以看作是均一的,为该断面的平均值。本文采用以下数学模型[1,2]。

其中,ρ为燃气密度,kg/m3;t为时间,s;A为管段的流通横截面面积,m2;qm为质量流量,kg/s;x为管段轴向长度,m;p为气体压力,Pa;λ为摩阻系数;D为管道内径,m;g为重力加速度,m/s2;θ为燃气管道对水平面的倾斜角,rad;h为比焓,J/kg;K为传热系数,W/(m2◦K);T为燃气温度,K;T0为土壤温度,K。

2 差分格式的建立和方程组封闭的分析

非稳态气体状态方程(1)～方程(3)及实际气体状态方程p=p(ρ,T)和比焓方程 h=h(ρ,T)可以用更一般的形式来表示,即为=0。此方程为一阶双曲型方程。对于此形式的偏微分方程,考虑选用有时步和距步二阶精度的Wendoff差分格式[3,4]。

为了求解所形成的差分方程,还需确定输气的边界条件和初始条件。边界是对系统而言的,现定义一段管子为研究对象,管子两端的连接情况及相应的运行控制情况为边界条件。对一大型输气管网,边界条件可能是多种多样的,主要有:气源、一个管子的终点且有分气量、管子与管子的相交节点且有分气量,如忽略节点的局部阻力和速度的差别则各支管节点压力和温度相等、节点控制最小压力[5]。

结合一典型的输气工艺流程进行封闭性分析[6]。

该输气干线中由4支管段,5个节点组成,其中节点1是气源,节点3,4,5是分气点,节点2是普通节点,将每一段管线进行剖分,得截面为n1,n2,n3,n4,因为每个截面有3个未知变量p,qm,T,所以共有未知变量3◦(n1+n2+n3+n4)。

可建立的差分方程数为:3◦(n1-1)+3◦(n2-1)+3◦(n3-1)+3◦(n4-1)。

按上面的边界条件确定方法,上游边界条件有两个,即气源的压力与温度,下游分气点的边界条件有四个,即例中的 qm(t)或p≥pmin,不能两者兼有,对节点2和节点3可建立节点压力、温度或密度和流量3个平衡方程,共计6个方程。

因此共有边界条件:2+4+6=12;

因为:3(n1-1)+3(n2-1)+3(n3-1)+3(n4-1)+12-3×(n1+n2+n3+n4)=0。

方程的个数与未知数的个数相等,因此方程是封闭的。

长输管线不稳定流动数学模型的中心有限差分法计算格式及相应的初始条件,所形成的是一个非线性、非齐次的方程组。对一个剖面就有5个方程,那么对一个大型的输气管网将有多个方程,因此在选择计算方程组的方法上,应该能够快速逼近真值,考虑到该方程组易求导和迭代初值离真值的偏差较小,故考虑选用Newton-Raphson迭代法求解[3]。

3 计算实例分析

某市高压管网半环(门站—调压站 B—调压站 C)管道长40 km,管道内径为 700 mm,土壤温度为278.15 K,气体常数为8.314 5 J/(mol◦K),已知各个管段步长节点的初始时刻质量流量、密度和温度以及调压站B和调压站C 24 h的流量数据,气源的密度和温度恒定。

模拟时间为1 d,模拟程序用Visual C++语言编制,时间步长取3 600 s,管段步长计算网格为40个,即空间步长为1 km。选取部分时刻,其计算结果如下:

计算结果分析:图1～图3分别为天然气的密度、温度和压力在同一时刻随距离的分布。从图1～图3中可以看出天然气的密度、温度和压力并不是线性分布的。它们在10 km处产生明显而剧烈的变化,这是因为在10 km处存在分气点,从而气体压力变化剧烈。同时气体在此处有明显的节流效应产生,因而温度变化明显。图4,图5分别反映了天然气在同一点处的压力随时间变化的情况。由于用户用气量周期性变化,使得管网各处的压力也是周期性变化的,该变化趋势与用气量的变化趋势相反。由于在12:00及19:00,用户用气量最大,在此时刻,管道中的压力却最小;相反在用气量的低峰时,管道内的压力相对最大。另外,在分气点前,其压力变化的幅度小,而在分气点后,气体压力变化的幅度大。图6反映的是分气点处的流量变化。从图6中可以看出,在8:00,12:00及19:00等用户用气量较大,在3:00,15:00等用户的用气量较小,与实际用气规律相符。

4 结语

采用了隐式差分法,对不稳定流动模型进行求数值解。通过研究可以得出如下结论:

1)数值解法对长输管线不稳定流动进行研究。不用对模型方程组进行简化和复杂的数学变换,因而求解出来的结果与实际运行中的数据更为接近;

2)求解时要将待求的时间层次上所有的未知量联立起来同时进行求解,求解的非线性方程组非常庞大,方程组过大时求解需要较长的时间。为了保证数值解的绝对稳定性,因而时间、空间步长不能够取的过小;

3)数值解考虑了气体与外界环境的热交换,能够计算出天然气沿线的温度分布;

4)由于供气与用气的波动,导致管网中气体的压力、流量与温度也是随时间波动的。如果管网存在有分气点时,在分气点处气体的压力、温度、密度的变化最为剧烈。

[1] 李长俊,曾自强,江茂泽.天然气在管道系统中不稳定流动的分析[J].天然气工业,1994,14(6):54-59.

[2] 隋元春.不稳定工况下燃气管网的模拟计算[J].煤气与热力,1992(1):36-41.

[3] 翟瑞彩,谢伟松.数值分析[M].天津:天津大学出版社,2000.

[4] 李长俊.天然气管道输送[M].北京:石油工业出版社,2006.

[5] 周 游.天然气长输管线末段与城市高压外环不稳定流动及末段储气的研究[D].济南:山东建筑大学硕士学位论文,2004.

[6] 唐建峰,段长贵,吕文哲,等.特征线法在燃气管道动态模拟中的应用[J].油气储运,2001,20(8):12-17.