线性函数的平均值在高中物理中的应用

臧立志

(苏州大学附属中学,江苏苏州 215006)

在中学物理中,线性函数y=kx+b或y=kx等获得了极其广泛的应用.利用线性函数,我们不但能正确地表达诸如由时间决定的变力,弹簧类物体的弹力,线性变化的感应电动势,静止液体内部的压强,共轴转动物体的各点的线速度等等一般的物理规律,更重要的是,我们还可以利用线性函数在定义区间 x1～x2(或 t1～t2)内的平均值¯y=来分析和解决许多比较复杂乃至极其困难的物理问题,从而删繁就简,化难为易,收到良好的教学效果.下面,笔者试从3个方面展开讨论.

1 关于线性变力的做功问题

这里所谓线性变力,是一种方向沿同一直线而大小随位移均匀变化的力,亦即大小与位移成正比而方向相反的变力,其表达式为 F=-kx+b或F=-kx.反映在数学中,这种变力是位移的一次函数.对解决这种变力做功的问题,使许多初学者感到困惑不解或十分棘手.但是,从另一个角度着眼,若利用这种函数在0～x位移内的平均值即¯F作为恒力来替代线性变力,使求线性变力做功的问题予以简化.

例 1.如图 1所示,把质量为 m、底面积为 S的木块,放入密度为ρ的水内的O点,即木块下底面在水下 h0深度处时,由于恰好受力平衡而静止.现用力下按使其竖直向下移动 xm至 O′点,然后释放.求木块由O′点返回到O点时的瞬时速度.

解析:选竖直向下为 x轴的坐标正方向,以O点为坐标原点.考虑到浮力遵守阿基米德定律,可得 N=ρ gSh,其中h为木块没入水中的深度.从而,可得木块所受的合力为

图1

其中x为木块在任意位置偏离O点的位移.

依题意,当木块在O点时,

再把(2)式代入(1)式,又得 F=-ρ gSx.

由此可见,木块在此线性变力作用下做简谐运动.不难求出合力F在0-xm区间上的平均值为

设由O′点返回到O点时的瞬时速度为v,根据动能定理可得

最后,由(3)、(4)式即可求出

点拨:应该指出,当线性变力 F=kx与另一恒力(如此例之重力)共同作用于一个物体时,其合力也是线性的,从而形成F=kx+b形式的线性变力,其平均值的表达式与前者亦有所不同.并且这一点对于以时间为自变量的一次函数也是如此.

例2.如图2所示,一根轻质弹簧竖直站立、下端固定在水平支持面上,恰好在弹簧的正上方高度为h的A点,有一质量为 m的物体由静止自由下落.当物体落至弹簧上端的O点时,弹簧开始被压缩,而当它到达B点时,物体的速度为零.试求:

(1)物体位移多大时达到最大速度,最大速度为多少.

(2)弹簧的最大压缩量.

解析:首先,分析可知物体在竖直向下的重力、竖直向上的弹力等共同作用下,做先加速、后减速、最后静止的变加速运动.

选竖直向下为 x轴正方向,以O点为坐标原点.由牛顿第二定律,可得

图2

其中F=-kx为弹簧的弹力.

然后,设物体自A点下落至C点时加速度为零,此时物体达到最大速度vm;又设 OC=x1,亦即 mg-kx1=0.于是可得

图3

显然,重力、弹力的合力在位移 x内的平均值为

从而由动能定理,我们不难得到

由(1)～(3)式,即可解得

最后,依题意知物体自 A点下落到B点时速度为零,再设弹簧的最大压缩量即OB=x2,我们由动能定理又得

显然,上式是关于 x2的一元二次方程.从而又可解得

由于 m2g2+2kmgh＞m2g2,因而当根式前为“-”号时,x2＜0,舍去负解.从而可得到

亦即线段 BC＞OC,点 C不是线段OB的中点;若 h比较大,则BC段比OC段要大得多.图3表示出合力随位移变化的大致情形,“阴影”的面积则为合力在相应位移内所做的功.

点拨:由此例解析可见,我们虽然先后在 AC和AB两段位移上都利用动能定理解决问题,但由于前者与后者的位移不同,使得同一合力的平均值显然不同;从做功角度看,造成BC＞OC的原因,显然是在 AC一段位移上,重力做了比在BC段更多的正功.还应明确,若使上式中h=0,可知物体由O到B恰好完成简谐运动的半个全振动,此时C点才是OB线段的中点,同时也是振动的平衡位置.

2 关于线性变力冲量的问题

这里所谓线性变力,是另一种方向沿同一直线而大小随时间均匀变化的力,其表达式为 F=kt+b或F=kt.反映于数学中,这种线性变力是时间的一次函数.类似地,若能利用线性变力在时间0～t内的平均值,即作为恒力替代线性变力,使求变力的冲量问题得以简化.

例3.洒水车在洒水过程中,由于水流速度、喷水口面积等在比较长的时间内,可以认为保持不变,即单位时间内流出的水的质量相等.因而,洒水车的质量是时间的一次函数,可以写作 m=m0-kt.其中 m0为初始质量,k为质量对时间的变化率,t为洒水的时间.现设洒水车的初速度为 v0,初始质量为 m0,经过 t的时间,车速增加为 vt;再设它的牵引力F恒定不变,与路面的摩擦因数为 μ.试求:洒水车在时间t内损失的动量.

解析:首先,分析可知洒水车在水平方向的牵引力和滑动摩擦力等作用下做加速度逐渐增大的加速运动.

显然,由于所受合力不为零,动量守恒定律不适用.但是笔者们可以先用合力的平均值求出合力的冲量,再利用动量定理即可求出动量的损失.依题意,可知其合力为

图4

合力随时间变化的情形如图4中直线 AB所示,“阴影”的面积则表示了合力的冲量.在时间t内合力的平均值为

设洒水过程中损失的动量为Δp,由动量定理得

由(1)、(2)式,可以解得

点拨:解答此题的关键有二:一先用线性变力——合力对时间的平均值,求出合力的冲量;进而,再利用动量定理去求动量的变化.二在全过程的动量变化之中,不但有末、初动量之差,同时必须包括流出的水带走的动量,亦即题目所求的损失的动量.

3 线性长度导致的感应电动势问题

电磁感应现象中也有一类随位移或时间均匀变化的感应电动势问题,即感应电动势E是位移s或时间t的一次函数.类似地,笔者们也可以利用求其平均值的方法去分析和解决.

例 4.如图 5所示,两条平行的虚线 M、N之间存在着垂直纸面向内、磁感应强度为 B的匀强磁场.在磁场的左侧另有一个位于纸面内的等腰梯形线框 ABCD,已知 AB边的长度d,底角 α,且总电阻为 R.现使线框自左至右以速度v匀速进入磁场,自 AB边进入直到CD边与磁场左边界M重合为止,所用的时间为t,那么求在此过程中通过线框某一横截面的电量.

解析:分析可知,在题设过程中梯形线框切割部分的有效长度为

图5

由电磁感应规律得线框中的感应电动势

显见,它是时间的一次函数.

然后,该电动势在时间0～t内的平均值

最后由欧姆定律求出通过线框某一横截面的电荷量

点拨:解决此题的关键在于,先求出线框匀速进入磁场时切割磁感线的有效长度L,再由感应电动势的瞬时表达式求出其在时间0t内的平均值;然后,作为恒定的感应电动势结合欧姆定律等处理.

综上所述,若能巧妙的利用一次函数的平均值,笔者们的确可以解决中学物理中一大类物理问题.它不仅可以大幅度提高中学生分析和解决物理问题的能力、利用数学知识解决物理问题的能力,而且对于培养求异思维、巧妙思维和创新思维能力,进而大面积提高中学物理的教学质量都有十分重要的意义.

1 复旦大学、上海师范大学物理系编.物理学.上海:上海科学技术出版社,1997.

2 人民教育出版社编.全日制普通高中(必修加选修)教师教学用书.北京:人民教育出版社,2003.