基于Origin平台的滚动疲劳寿命Weibull分析

张军利，陈建春，周井玲

(南通大学 机械工程学院，江苏 南通 226007)

滚动接触疲劳寿命具有离散性，需用数理统计的方法处理数据，才能对疲劳性能有比较清楚的了解。在多种分布理论中，由于Weibull分布更接近寿命试验结果，数学处理也较方便，所以在讨论滚动轴承寿命时，绝大多数都采用Weibull分布进行分析[1]。

Weibull分布常用的有图解法和估算法。图解法，即利用Weibull概率纸，对试验数据进行分析和评价。由于使用概率纸比较简单直观，故图解法成为获取Weibull分布参数估计的常用方法。然而，由于受描点、连线、测量的肉眼误差，甚至笔尖粗细等因素的影响，导致这种传统的手工图解法的计算精度不太理想。随着计算机技术的发展，目前已出现了Weibull分布分析的专用软件，如美国的Relex Weibull，Weibull ++等，能较好地解决此类问题。但是，使用此类专用软件进行数据量不大或者频率不高的Weibull分析时，成本相对太高。因此，下文提出了一种基于常用数据分析软件Origin平台进行Weibull分析的简便方法。

1 Weibull分布与Weibull概率纸

1.1 Weibull分布概述

自从Palmgen A将Weibull分布用于滚动轴承分析以来，一直沿用至今[1]。Weibull分布函数为：

(1)

式中:F(L)为轴承寿命不大于L时的破坏概率；L为寿命，作为随机变量处理；L0为分布中最小的寿命值，一般设其为0；β为斜率参数，表示一批轴承寿命的离散性，β值越大，表明离散性越小；η为特征寿命参数，又称作尺度参数，表示破坏概率为0.632时所对应的轴承寿命。文献[2]从疲劳统计理论观点证实了(1)式的合理性。

1.2 Weibull分布概率纸

为便于直观检查Weibull分布与试验结果的符合程度并近似估计Weibull分布的参数，常利用Weibull分布的概率纸[2]。

将(1)式改写成：

(2)

然后,对(2)式两边取两次对数，整理后可得：

lglg[1-F(L)]-1=βlgL+(-lgηβk)

(3)

式中：k=2.303。

设:lglg[1-F(L)]-1=y，β=α，lgL=x，(-lgηβk)=b，则上式可表示为：

y=ax+b

(4)

(4)式为一个线性方程，x，y的关系可用直线在等间隔刻度的直角坐标系中表示。以lglg[1-F(L)]-1为纵坐标刻度，以lgL为横坐标刻度，这样满足(3)式的分布即Weibull分布，在图中为直线，这种格式的纸称为Weibull概率纸[1]。

1.3 Weibull概率纸中寿命数据的标图

将1组寿命试验所得的n个转数数据按数值大小进行排列，可得：L1≤L2≤…≤Li≤Ln，Li称为次序统计量。显然，Li是随机变量，与之所对应的破坏概率为F(Li)，F(Li)的数学期望为：

(5)

表1 ZrO2陶瓷球疲劳试验数据

2 陶瓷球疲劳寿命的Weibull分布分析

2.1 传统寿命总体估计方法

传统寿命总体估计方法是以手工绘制试验数据点,即在Weibull概率纸上先直接描绘点，然后目测一条直线，读出特征寿命η，当F(L)=90时，则lglg[1-F(L)]-1=0，由(3)式得到的β=lgk/(lgL-lgη)可确定Weibull分布参数，估计寿命。此法虽然简单，但是描点、连线、测量过程中容易产生较大人为误差，使得其计算精度不太理想。当坐标点离散性较大时，还需要应用最小二乘法进行直线回归，即用(6)～(10)式将其变换成等刻度的坐标值x,y后，再进行线性回归[1]。

x=logL

(6)

y=ax+b

(7)

(8)

(9)

F(x)=1-1/1010y

(10)

通过计算 (8)和(9) 式可求得回归直线的斜率和截距，从而得到 (7) 式的表达式，然后用 (10) 式估计总体寿命的分布。从上面的公式和计算步骤可看出，当试验数据组较多时，利用上面的公式进行计算就比较繁琐。

2.2 基于Origin软件平台Weibull分析的方法

下面提出的方法，是在Origin平台上，将试验数据利用最小二乘法原理直接进行直线回归，求得直线的截距和斜率；并且在绘制Weibull概率纸的同时描绘试验点和回归直线。此法方便、易行，且提高了计算精度和工作效率。该方法具体步骤如下：

第1步。将表1第2，3列所示的2组ZrO2陶瓷球疲劳寿命试验数据输入图2的A(x1),C(x2)列，先选中A(x1)列，单击鼠标右键，选中set column values，即出现‘set values’界面，如图1所示，点击选项F(x)，选择log()，在窗口中输入式子log(Col(A))。C(x2)与A(x1)操作命令相同，最后按OK自动求得对应的计算结果，如图2中A(x1)和C(x2)所示；图2中B(y1),D(y2)输入表1第5列的数据。

图1 set values窗口中直线的输入

图2 直线拟合所需要的数据

第2步。选中图2的4列数据，使用Origin中菜单栏Analysis>>Fit liner对2组试验数据进行拟合，可分别得到2组回归直线的截距和斜率及相关的其他数据。由图3可知，第1组回归直线的斜率a1=0.841，截距b1=-5.292；第2组线的斜率a2=0.497，截距b2=-3.150。代入(4)式可得回归直线分别为：y1=0.841x-5.292，y2=0.497x-3.150。在Origin中方程的输入与图1相似，第1组输入：0.841log(Col(A))-5.292。第2组输入：0.497log(Col(A))-3.150。

图3 试验点拟合结果

第3步。将用于绘制Weibull概率纸、2组试验点和2组回归直线的数据列在Origin的sheet工作表中，如图4所示。选中sheet工作表中所有数据，点击菜单栏Graph>>Add Plot to Layer>>Line来绘制Weibull概率纸、2组试验点及2组试验点的回归直线。完成直线的绘制后，在Origin的Graph界面中，对横坐标取常用对数，修改线的颜色、线型以及线宽等属性，调整图形后可得到如图5所示的Weibull概率纸、试验点及其回归直线。

图4 绘制Weibull概率纸和拟合直线所需的数据

图5 Weibull概率纸上数据的标图

第4步。分析Weibull概率纸上的分布特性。用鼠标选中Origin工具栏中的screen reader或者draw data工具，可在图中读出任意失效概率下的陶瓷球的寿命。如图6所示，第1组试验数据的额定寿命L10=5.016×104，中值寿命L50=4.766×105，特征寿命L63.2=7.363×105；第2组试验数据L10=4.399×103，L50=1.969×105，L63.2=4.079×105。

图6 读取任意概率下的寿命值

Weibull概率纸中的每一条回归直线代表1组ZrO2陶瓷球疲劳寿命的概率分布。回归直线在图中的位置反映了该组试验球寿命的长短，直线斜率越小则表示试验球在同样的失效概率下寿命越长。

3 结束语

综上所述，采用基于Origin平台的Weibull分析的方法来绘制Weibull概率纸、试验数据点以及进行直线回归和分析是非常方便的。这种方法减小了传统图解法的误差，弥补了专用分析软件成本昂贵的不足，简化了繁琐的数据计算，为各种试验数据的Weibull分布分析提供了极大的便利。