“反例法”在高等数学教学中的应用

齐莲敏

（襄樊广播电视大学，湖北 襄樊 441021）

“反例法”在高等数学教学中的应用

齐莲敏

（襄樊广播电视大学，湖北 襄樊 441021）

本文通过对高等数学中典型问题的反例研究，说明在高数教学中应用“反例法”能有效提高教学质量，能提高学生分析问题和解决问题的能力。

反例；分析；实函；代数

自1999年，中央电大创办开放教育试点以来，理工科本科层次均开设有高等数学这门课程。近年来，开放教育生源质量有明显变化，教学对象以“在职人”居多，这使得如何提高开放教育的教学质量成为很值得研究的问题。

笔者在十年的开放教育高数教学实践中认识到，要提高高数教学质量必须遵循以下几个原则，即：以问题为中心原则、化抽象为具体原则、化隐为显原则、渗透性原则等等。其中化抽象为具体原则又涵盖多个方面，而反例教学又是把抽象的理论具体化的一种非常有效的手段。正如美国数学家B.R.盖尔鲍姆所说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学也是朝着这两个目标——提出证明和构造反例而发展”，本文就从分析、实函、高代三个方面入手，探讨反例教学法在高等数学教学中的应用。（文中的正确命题显然成立，不再证明）

一、反例法在数学分析中的应用

1.可导与连续的关系

对数分的初学者来说，要分清可导与连续这两个概念需要一段时间。但采用反例法教学可以简明有力地否定学员脑海中错误的认识。

可导必然连续。（这是个正确命题）

连续必然可导。（这是个错误命题）

反例：Y=|x|在 x=0处连续，但不可导。因为在该点的左导数为-1，右导数为+1，左右导数不等，所以不可导。

由此例可以让学员明白可导必然连续，而连续不一定可导。

2.导数与切线的关系

导数的几何意义是切线的斜率，学员经常误把导数等同于切线，通过反例教学可以有效避免学员范这种错误。

Y=f(x)在x=x0处的导数存在，则曲线Y=f(x) 过该点的切线存在。（这是个正确命题）

Y=f(x)在x=x0处的切线存在，则Y=f(x)在x=x0点的导数存在。（这是个错误命题）

反例：函数X=siny在 x=1的点的切线存在，且该切线平行于Y轴；但函数X=siny在 x=1处的切线的斜率不存在，所以曲线在该点的导数不存在。

由此例可以让学员明确：切线存在是导数存在的必要条件，而不是充分条件。

3.收敛级数的线性性质

若两个级数∑un和∑vn都收敛，则∑un+∑vn也收敛，并且有∑un+∑vn=∑(un+vn)。（这是个正确命题）

若两个级数∑un和∑vn都发散，则∑un+∑vn也发散。（这是个错误命题）

学员在学习的过程中，常常误以为由收敛级数的线性性质可以推出两个发散级数的“线性性质”。通过此例，可以让学员很快明白两个发散级数的和可能是个收敛级数，这就提高了课堂教学效率。

二、反例法在实变函数中的应用

实变函数是一门综合了代数、几何等知识于一体，高度抽象的课程。采用反例法教学，可以使学生更深刻地理解概念与定理的含义，提高教学质量。

1.连续基数的概念

通常情况下，学员在学习实变函数之前，总会从直觉上感到：较长的线段比较短的线段含有更多的点。这种错误的直觉会使学员在实变函数的后续学习中绕很多弯路。但下面这个反例却可以使初学实函的人很快明确：一个较长的线短并不比另一个较短的线段含有更多的点，而是含有同样多的点。

一个较长的线段比另一个较短的线段含有更多的点。（这是个错误命题）

反例：x2+y2=1与x2+y2=4表示两个同心圆，其中圆心在坐标原点，半径分别为1和2。前者的周长为2π，后者的周长为4π，表面看来好象“后者比前者含有更多的点”；实际上，只要从原点出发作射线，即可建立前者与后者的点的一一对应。也就是说，x2+y2=1与x2+y2=4上面的点一样多，个数均为连续基数c。

举这样的反例，非常有利于学生掌握连续基数的概念。

2.全序集与半序集的关系

学员在学习全序集时，往往会误认为这里的“序”和我们通常意义上的“顺序”是一回事，这使得在判别集合是否为全序集时经常出错。如何防止学员范这种易范的错误，举个反例即可。

设B为非空集，A为B的所有子集构成的集，若子集之间用包含关系作为A中某些元素间的顺序，则A按此顺序成为一个半序集。（这是个正确命题）

上述A也是一个全序集。（这是个错误命题）

反例：设B=｛1，2，3｝，则A=｛φ，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛2，3｝，｛1，3｝，｛1，2，3｝｝。其中｛1｝∈A，｛2，3｝∈A， 而｛1｝＜｛2，3｝不成立，｛2，3｝＜｛1｝也不成立。根据全序集的定义：对 A中任意两个元素都可以确立它们之间的顺序，可以知道，上述 A不构成全序集，只构成半序集。

由上可知，半序集不一定是全序集，而全序集一定是半序集。

虽然，实变函数是高等数学中最抽象的课程；但是，采用反例法教学可以化抽象为具体，并能加强学生对重点概念的印象，加深学员对抽象理论的理解。

3.开区间与开集的关系

初学实函者往往会误以为在一维空间上开区间与开集是相同的概念，实则不然。以下举反例说明。

在直线上，开区间是开集。（这是个正确命题）

在直线上，开集是开区间。（这是个错误命题）

反例：在R1上，对集合A=（1，2）∪（3，4）∪（7，8）中任一意点a，总存在δ＞0，使得∪（a，δ）包含于A，所以A上任一点均为内点。可见，A为开集。但是，显然A不是开区间，而是开区间的并。

由这个具体的反例，可以很容易地让学员区分开开集与开区间这两个概念。

4.闭集与开集的关系

直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间所得到的集。（这是个正确命题）

闭集的余集是开集。（这是个错误命题）

反例：设闭集 F=[1，2]，F包含于[1，4]，则C[1，4]F=（2，4]。显然闭集F对于[1，4]的余集不是开集。

三、反例法在高等代数中的应用

1.整体相关与部分相关的关系

对于一个向量组，一部分向量线性相关，则此向量组的整体必然线性相关。（这是个正确命题）

一个向量组线性相关，则它的一部分向量构成的向量组也线性相关。（这是个错误命题）

反例：显然，向量组 e1=(1,0,0) ′, e2=(0,1,0) ′,e3= (0,0,1) ′,α=(1,1,1)′线性相关。但它的部分组e1，e2，e3是线性无关的。

2.有相同特征多项式的矩阵与相似矩阵的关系

相似矩阵有相同的特征多项式。（这是个正确命题）

有相同特征多项式的矩阵是相似阵。（这是个错误命题）

3.线性变换的保相关性

线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组。（简称为线性变换的保相关性，这是个正确命题）

线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。（这是个错误命题）

反例：在线性空间Fn[x]中，向量组1，x1,x2, ……，xn-1是线性无关的，因为k1·1+k2x+……+knxn-1=0, 只能得出各个系数k1,k2,……,kn全为零。

设δ是线性空间Fn[x]的微分变换，

则：δ（1）=0， δ（x）=1,

δ(x2)=2x, ……,δ(xn-1)=(n-1) xn-2

而1·0+0·1+0·2x+……+0·(n-1) xn-2=0

即1·δ（1）+0·δ（x）+0·δ(x2)+……+0·δ(xn-1)=0

所以δ（1），δ（x），δ(x2)，……，δ(xn-1)是线性相关的向量组。

由上可知，线性变换可以把线性无关的向量组变为线性相关的向量组。

四、结束语

开放教育教学主要分为“面授”与“网上教学”两部分，“面授”课时少，“网上教学”师生缺乏情感交流。怎样提高开放教育的教学质量是每个开放教育教师都要思考的问题。而高等数学这门课程难度大、很抽象，选择何种教学方法能有效地提高教学质量更是每位数学教师必须思考的问题。“反例教学法”可以把抽象的理论转化为具体的实例，便于学生掌握；“反例”的鲜明性可以在学员的脑海中留下深刻的印象，加深他们对于相关概念的记忆；“反例法”的辩驳性可以培养学员独立思考问题、独立辨别是非、采用例证法来反驳错误论述的能力；“反例法”可以提高学员的逻辑素养，培养学员的创新能力。

[1] 样例在泛函分析教学中的应用[J]. 高师理科学刊，2008，（1）.

[2] 程其襄，张奠宙，魏国强等. 实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，1988.

[3] 张喜堂，余东华，方育坤. 实变函数论的典型问题与方法[M].武汉：华中师范大学出版社， 2000.

[4] 张禾瑞，郝丙新. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

The application of “Counterexample” in higher mathematics education

QI Lian-min

By studying counter example of higher mathematics, this paper discussed counter example method application in mathematical teaching would improve teaching quality, and improve students ability in analyzing, solving problem.

counter example ; analysis; real function; algebra

G72

A

1008-7427（2010）01-0020-02

2009-08-31