偶极子对动态性能影响可忽略的充分条件

李 娟,高鸿雁,李胜多,岳丹松

(青岛农业大学机电工程学院,山东青岛 266109)

0 引言

“自动控制原理”是一门重要的电气化和电自化等专业的基础必修课,在本课程中对系统的动态性能的分析中,一般教材都要讲偶极子对系统性能的影响。但对于偶极子对系统动态性能的影响何时可以忽略的问题上,不同的教材有不同说法。综合可见有三种说法:①不十分接近坐标原点的偶极子对动态性能的影响可忽略,而十分接近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑[1-2];②不十分接近虚轴的偶极子对动态性能的影响可忽略,而十分接近虚轴的偶极子对动态性能的影响必须考虑[3-5];③在分析高阶系统的性能时,可以忽略偶极子的影响,而没有指明条件[6]。当然也有个别教材在提及偶极子对系统动态性能的影响可以忽略的条件时,将接近虚轴和接近坐标原点这两者混为一谈。

教材[1]和[2]都指出不十分接近原点的偶极子对动态性能的影响可忽略,并以实数偶极子的情况给出了证明。但偶极子有实数偶极子和复数偶极子之分。对实数偶极子而言,偶极子接近虚轴就是接近原点,但对复数偶极子而言,接近虚轴和接近原点是不一样的。因而从已有的证明中无法看出是十分接近原点还是十分接近虚轴的偶极子可以忽略。而能查阅到的其它教材都没有给出证明。那么对所有类型的偶极子而言,究竟是在什么条件下偶极子对系统动态特性影响才可以忽略呢?换句话说,偶极子对系统动态特性的影响可以忽略的充分条件是什么?

1 偶极子影响可忽略的充分条件

关于偶极子对系统动态性能的影响可忽略的条件,我们给出如下定理。

【定理】对于线性定常系统,偶极子对系统动态性能的影响可忽略的充分条件是:偶极子不十分接近坐标原点。而对于十分接近坐标原点的偶极子对动态性能的影响必须考虑。

证明:研究含有一对复数偶极子的具有下列闭环传递函数的单输入单输出SISO线性定常系统:

其中,a、b和δ是正实数。

在式(1)描述的闭环系统中,有一对复数极点s1,2=-a±jb、一个实数极点s3=-1和一对复数零点z1,2=-(a+δ)±jb。

假定δ※0,即复数闭环零点z1,2和复数极点s1,2十分接近,从而构成复数偶极子。则式(1)的单位阶跃响应的拉氏变换为

其中:

由式(3)可得

将式(4)代入式(2)得

对式(5)取拉氏反变换,则得单位阶跃响应为

考虑到δ※0,则式(6)可简化为

下面对式(7)分两种情况讨论。

(1)a趋向0但b不趋向0

复数偶极子十分接近虚轴而不十分接近原点,则式(7)可简化为

注意到式(8)的结果恰与忽略式(1)中的偶极子所得的结果一致,因而此时偶极子的影响可以完全略去不计,系统的单位阶跃响应由主导极点决定。

[注1]该情况下的结果充分说明:偶极子对系统动态性能的影响是否能被忽略不取决于偶极子是否十分接近虚轴。

(2)a※0,b※0

复数偶极子十分接近原点,则式(7)可简化为

此时,式中的两个系数分式2aδ/(a2+b2)和δ[2a-2a2+2b2]/(a2+b2)中的分子和分母是可比的,其对应的两项不能略去不计,所以接近坐标原点的偶极子对系统动态性能的影响必须考虑。

综合以上(1)和(2)两种情况,便可得到上述的定理。

[注2]从上面的证明可看出,就对系统动态性能的影响而言,偶极子接近虚轴和接近原点是不一样的,因而不能将两者混为一谈。

[注3]实数偶极子可以看作复数偶极子的一种特例,当复数偶极子的虚部取为零,即b=0时,上述证明就简化为教材[1-2]中关于实数偶极子的证明。

2 应用实例

对于由式(1)描述的系统,考虑下列两种情况:

(1)a=0.1,b=0.1,δ=0.01

s1,2=-0.1±j0.1,z1,2=-0.11±j0.1。由偶极子的定义知,s1,2和z1,2构成了接近原点的偶极子。

(2)a=0.1,b=50,δ=0.01

s1,2=-0.1±j50,z1,2=-0.11±j50。由偶极子的定义知,s1,2和z1,2构成了远离原点但接近虚轴的偶极子。用Matlab进行仿真,以上两种情况下的系统的单位阶跃响应曲线如图1所示。

图1 单位阶跃响应

由图1可看出,当偶极子接近原点时的动态响应和偶极子远离原点但接近虚轴时的动态响应有较大差异。以调节时间为例,取误差带为 Δ=0.02。在偶极子接近原点时(对应虚线),调节时间为ts=6.77s;在偶极子远离原点但接近虚轴时(对应实线),调节时间为ts=3.92s。当将系统中的偶极子忽略时,则可计算出调节时间为ts=3.998s。比较忽略偶极子前后的调节时间可看出:远离原点但接近虚轴的偶极子对系统动态性能的影响甚微,可忽略;而接近原点的偶极子对系统动态性能的影响较大,必须考虑。

3 结语

本文针对《自动控制原理》教材中关于偶极子对动态性能的影响出现的分歧,从理论上证明并给出了偶极子对动态性能的影响可忽略的充分条件,从而统一了教材中的说法。

[1] 胡寿松.自动控制原理(第五版)[M].北京:科技出版社,2007

[2] 黄家英.自动控制原理(上册)[M].北京:高等教育出版社,2003

[3] 董明晓,李娟.机械工程控制基础[M].北京:电子工业出版社,2010

[4] 厉玉鸣,马召坤,王晶.自动控制原理[M].北京:化学工业出版社,2005

[5] 高飞,袁远能,杨晨阳.自动控制原理[M].北京:北京航空航天大学出版社,2009

[6] 王孝武,方敏,葛锁良.自动控制理论[M].北京:机械工业出版社,2009