基于投影寻踪的集对分析模型及其在地下水质评价中的应用

李 陶，付 强，丁 红

（东北农业大学水利与建筑学院，哈尔滨 150030）

近年来，由于流域没有统一的水资源开发利用规划，致使地表水的利用各自为政，出现地下水严重超采引起的地下水水位下降、地下水降落漏斗形成、地面沉降、地面塌陷、水质恶化等水环境问题[1]。地下水水质评价是地下水资源评价的一项重要内容，根据地下水的主要物质成份和相应的水质标准，分析地下水水质的时空分布状况和可用程度，为地下水资源的开发利用、规划和管理提供科学依据。目前水质评价数学模型很多，肖红提出灰色聚类法在许昌市中浅层地下水质评价中的应用，取得了满意结果[2]；任传栋等提出加权优序法在地下水质评价中的应用，是一种简单实用的多指标决策方法[3]；彭小金等提出模糊综合评价在地下水质评价中的应用[4]，是以模糊推理为主的定性与定量相结合、精确与非精确相统一的评判方法。

但是这些传统方法并没有很好地解决评价因子与水质等级间复杂的非线性关系，评价过程中的效用函数、权重[5-7]需要人为设计，限制了评价模式的通用性，也影响了结果的可靠性。近30年来我国兴起的集对分析（Set Pair Analysis，SPA）新技术，是一种的处理模糊和不确定问题的系统理论方法，运用同异反表达式可解决各种模糊不确定问题。本文根据地下水质评价的具体情况，提出运用基于实数编码（Real Coding Based Accelerating Genetic Algorithm，RAGA）的投影寻踪模型[8]（Projecting Pursuit Classification，RAGA-PP）计算权重，从而可以克服主观权重的影响，并合结指标划分更为细致的改进型集对分析模型，形成基于投影寻踪的改进型集对分析模型（RAGAPP-SPA），可以更好的处理复杂的非线性评价问题。

1 集对分析基本理论[9-11]

集对分析（Set Pair Analysis，SPA）是我国学者赵克勤1989年提出的一种用联系度统一处理模糊、随机、中介和信息不完全所致不确定性的系统理论和方法，其特点是把不确定性与确定性作为一个既确定又不确定的同异反系统进行分析和数学处理。集对分析的表达式为：

其中，N是集对所具有的特性总数；S为集对中的2个集合共同具有的特性数；P为集对中2个集合相互对立的特性数；F＝N－S－P是集对中2个集合既不共同具有，也不相互对立的特性数。其中a为同一度；b为差异度；c为对立度。i为差异系数，取值于[-1,1]。j为对立系数，规定取值为-1。

2 基于投影寻踪的改进型集对分析水质评价模型(RA G A PP-SPA)

2.1 投影寻踪方法确定指标权重[12]

投影寻踪模型，即把高维数据样本通过某种组合投影到低维子空间中，对于投影得到的构形，采用投影指标函数（目标函数）来衡量投影暴露某种分类结构的可能性大小，寻找出使投影指标函数达到最优（即能反映高维数据结构或特征）的投影方向，最佳投影方向的各分量既是指标权重，所以每个指标的权重是各个投影方向值占总投影方向值的比重。即：

式中，a（j）为指标投影方向。

2.2 差异度系数和联系度的确定[13-14]

以水质Ⅰ级标准为例，推导差异度系数和联系度，其余情况可类似得到。将待评价样本和水质标准看成一个集对，在水质Ⅰ级时，水质标准可分为三个区间：[0,Sr（1）]、[Sr（1）,Sr（2）]、[Sr（2）,+∞]。水质因子i的实测值x为采样数据，采样数据的个数可视为集对的特性总数，对处于某一个检测点的某一个水质因子而言，采样数据为1，因此特性总数为1，所以当x∈[0,Sr（1）]时，μ=1/1+（0/1）i+（0/1）j=1；当x∈[Sr（2）,+∞]时，μ=0/1+（0/1）i+（0/1）j=1；当x∈[Sr（1）,Sr（2）]时，就需要考虑差异度系数 i的取值，而从 Sr（2）→Sr（1）的过程也是从-1→1 的过程，取[Sr（1）,Sr（2）]的中点（Sr（1）,Sr（2））/2 相当于 i=0 这一点，则i=1-（x-Sr（1））/（（Sr（2）-Sr（1））/2）=1+2（x-Sr（1））/（（Sr（1）-Sr（2））/2），因此 μ=0/1+（1/1）i+（0/1）j=1+2（x-Sr（1））/（（Sr（2）-Sr（1））。

针对许多集对分析评价模型，当水质处于V级是，超V级的数据虽然属于临级，由于没有Ⅵ级的指标，无法确定其联系度，将其归为相隔。本文将集对分析评价方法稍加改进，设Ⅵ级的指标值为2Sr（5）-Sr（4），则当x∈[Sr（5）,2Sr（5）-Sr（4）]时，可以认为样本值处于V～Ⅵ之间，μ=1+2（x-Sr（5））/（2Sr（4）-Sr（5））。这样就可以集对分析模型分级处理更加完整，评价结果也就更加准确。水质评价集对分析模型方法如下：

Sr（0），水质因子j处于Ⅰ级时：

水质因子处于Ⅱ级时：

水质因子j处于Ⅲ级时：

水质因子处于Ⅳ级时：

水质因子j处于V级时：

水质因子j处于超V级时：

式中，Si(0)为各污染因子Ⅰ级评价标准的下限；Si(1)～Si(5)分别为各污染因子评价级别的限值；x为污染因子的实测指标值；μj1～μj6分别为各监测点污染因子对各评价标准的联系度。

2.3 水质级别的确定

由上述方法求得水质因子联系度后，由下式计算加权联系度：

式中μi，表示五种水质因子对于第i个级别的加权联系度，若 μt=max{μi}，1≤i≤m，t∈[1，2，…，m]，则水质评价结果判为t级。

3 水质评价实例

3.1 投影寻踪权重

本文借用文献[15]的数据，利用RAGA-PP模型对13种不同样号的水质进行处理。选定指标为7 个，即三价铁（mg·L-1）、氯化物（mg·L-1）、硫酸根（mg·L-1）、氟（mg·L-1）、硬度（H0）、矿化度（mg·L-1）及 COD（mg·L-1）。对数据建立 pp模型。得出最佳投影方向 α*=（0.1854，0.4332，0.4756，0.1251，0.2268，0.6962，0.0090），得出权重并与比值权重和改进的层次分析法得到的权重对比，如表1所示。

由表1可见，投影寻踪算得的权重，由于算法的不同，与比值法和改进的层次分析法存在着一些差异，但基本符合样本数据的权重规律。

3.2 基于投影寻踪的改进型集对分析水质评价实例

淮北矿业集团涡北井田将进入建井开采进程，因此未来矿区的供水、水源保护等均与地下水的水质优劣密切相关，本次利用基于投影寻踪的集对分析模型对矿区各含水层水质进行综合评价，为矿区地下水资源管理提供依据。水质分级标准如表2所示。

根据式（3）～（8）的计算步骤对文献[15]数据和表2分级标准进行集对分析，并结合式（9）得出加权集对分析结果，见表3。

表1 投影寻踪确定权重与其他方法对比Table1 Projection pursuit of weight compared with other methods

表2 地下水水质分级标准表Table2 Groundwater quality grading standards

表3 涡北井田加权集对分析水质评价结果Table3 Wobei minefield water quality evaluation results with weighted to Set Pair Analysis

由表3可以看出，样号1～5的地下水质等级为优，样号6、7的地下水质等级为较好，需要当地相应职能部门加强管理，继续保持这样的势态；而样号8～10的地下水质等级为极差，样号11的地下水质等级为超差，样号12、13的地下水质等级为较差，需要加强地下水方面的技术建设，提高地下水科学管理和保护的能力，并增强对地下水水质的重要性和水质污染严重后果的认识。

4 评价结果及对照分析

将基于投影寻踪的改进型集对分析模型（SPA）与人工神经网络模型（BP）、灰色模型（GM）的结果做比较。如表4所示，集对分析法的评价结果与其他两种评价方法的结果基本吻合，样本5由于过多的指标在1级，导致联系度的偏向优的评价结果。而样本11则是其他两种方法，在指标分级上没有全面考虑到超V级的归属。样本13由于指标权重的分配使结果和其他两种方法稍有差别，但基本符合实际情况。用[J].水科学与工程技术,2008(5):52-54.

表4 评价结果比较Table4 Comparison of evaluation results

5 结论

通过基于投影寻踪的改进型集对分析模型对涡北井田地下水进行综合评价，得出以下结论：

a.运用投影寻踪模型计算指标权重，是一种客观计算权重的方法，避免了主观因素的影响，在实际的应用中得到了满意的结果，并与其他方法比较，证明利用最佳投影方向可以科学地确定各评价指标的权重。

b.通过完善V级相邻级别联系度为-1的不足，假设Ⅵ级的指标值为 2Si(5)－Si(4)，当 x∈[Si(5)，2Si(5)－Si(4)]时，得出μ＝1＋2（x－Si(5)）/（Si(5)－（2Si(5)－Si(4)））＝1＋2（x－Si(5)）/（2Si(4)－Si(5)）。改进的集对分析模型在对样本7、8、9、11 数据评价时，出现了 x∈[Si(5)，2Si(5)－Si(4)]情况，结果表明改进的集对分析能够使结果趋于准确化。

c.经过实例计算，改进后的模型概念清晰，评价结果直观、准确可靠，信息利用率高，为水质评价提供了一种新的方法。

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[3]任传栋,王志真,高佳,等.加权优序法在地下水质评价中的应

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