纯滚动刚体的运动分析

高彩云

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009)

纯滚动刚体的运动分析

高彩云

(山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同 037009)

通过对粗糙斜面上作纯滚动刚体的动力学分析，分平动状态和转动状态是否变化两种情形进行讨论，得出了刚体在水平面和斜面上可能出现这两种运动的条件，并且通过实例进行验证.

纯滚动 静摩擦力 刚体 平动 转动

刚体纯滚动可看成随质心的平动和绕质心轴的定轴转动的合运动.当刚体作纯滚动时必须满足aC= αr[1].静摩擦力对作纯滚动的刚体不作功，不能使刚体的总能量发生任何变化，但它实现了转动动能与平动动能之间的能量转换[2-3].文献[4-6]已对作纯滚动刚体的静摩擦力方向及其影响因素作了详细的讨论.本文在总结已有研究的基础上，从一个新的角度对纯滚动刚体的运动进行较全面的分析.

1 动力学分析

刚体作纯滚动时必须满足无滑滚动的条件aC= αr，这里仅讨论无形变的刚性平面或斜面，不考虑滚动摩擦力矩的影响.

如图1所示，半径为r质量为m刚体在倾角为θ粗糙斜面上作纯滚动，外力T平行于斜面作用于刚体，作用线的纵坐标为y，建立坐标系并进行受力分析(设静摩擦力f沿斜面向上).

图1 刚体在斜面上纯滚动受力分析

由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得刚体的动力学方程为:

解(1)得

2 结果与讨论

由纯滚动的条件aC=αr知，当aC=0时，α=0;当aC≠0时，α≠0.即平动状态和转动状态要么都发生变化，要么都不发生变化.本文将平动状态和转动状态都不发生变化的纯滚动叫“匀速”纯滚动，平动状态和转动状态都发生变化的纯滚动叫“变速”纯滚动.下面对这两种情况进行讨论.

2.1 刚体作“匀速”纯滚动

令aC=0,α=0,即

解之,得

讨论:

1)当θ=0时，有f=-T,y=-r或f=T=0.

表明刚体在水平面上作“匀速”纯滚动有两种可能情况:一是外力和静摩擦力都为零，二是外力和静摩擦力是一对共点平衡力.

2)当θ≠0,T=0时，方程组(3)无解.

可知,刚体在粗糙斜面上只受重力和支持力的情况下不可能作“匀速”纯滚动.

3)当θ≠0,T≠0时，

由(4)式可知，

当T＞mg sinθ时，f＜0，y＜0

当T＜mg sinθ时，f＞0，y＞0

表明如果有外力作用，刚体可能在粗糙斜面上作“匀速”纯滚动，但外力作用线必须在特殊值y= (mg sinθ-T)r/T.此时摩擦力的大小和方向都取决于T和mg sinθ的大小.

2.2 刚体作“变速”纯滚动

令aC≠0,α≠0即

由aC=ar,即

解之,得

讨论:

表明静摩擦力的大小和方向完全取决于外力作用线的位置，当作用线刚好在y=I/mr时，静摩擦力可以为零.

表明刚体在粗糙斜面上只受重力和支持力作用而作沿斜面向上或者向下纯滚动，静摩擦力总是沿着斜面向上.

3)当θ≠0,T≠0时，有

可见,这时摩擦力的大小和方向都由(7)式来决定.具体到某一刚体时,只需代入它的转动惯量及所施加外力的大小和作用线位置等相应物理量,进行求解即可.

3 实例分析

圆柱体质量为m半径为r，某时刻获得沿斜面向上的速度ν0(取沿斜面向上为正).

图2 圆柱体在斜面上纯滚动

令圆柱体和斜面接触点的速度νA=0，得该过程的平动位移s1和状态Ⅱ能量E1为:

第二阶段:圆柱体质心作匀减速运动，绕轴线作匀减速转动，直到平动动能和转动动能全部转化为重力势能，圆柱体瞬时静止.可解得该过程中静摩擦力f和平动位移s2为:

第三阶段:由于受重力和静摩擦力，圆柱体又从斜面上自由滚下，质心作匀加速运动，圆柱体绕轴线匀加速转动.同样可解得:

设该阶段的平动位移为s3，当s3=s1+s2即刚体又回到起始位置时，总能量E2为:

通过这个实例，验证了以下结论:

1)刚体在斜面上不受外力作用时，只能作“变速”纯滚动.

2)不管圆柱体而作沿斜面向上还是向下作纯滚动，静摩擦力总是沿着斜面向上.

3)E2=E1，即静摩擦力不作功.

4 结论

通过上述分析讨论得出以下结论:

1)刚体作匀速纯滚动有以下几种情况:

(1)在水平面上，不受外力，则静摩擦力为零;或者受外力，且外力和静摩擦力是一对共点平衡力.

(2)在斜面上，必须受外力作用，且其作用线必须在y= (mg sinθ-T)r/T处，而静摩擦力的大小和方向都取决于T和mg sinθ的大小关系.

2)刚体作变速纯滚动有以下几种情况:

(1)在水平面上，必须受外力，静摩擦力的方向取决于myr与I的大小关系.特殊地，当myr=I的时静摩擦力为零，再次验证了静摩擦力的存在并不是刚体作纯滚动的必要条件.

(2)在斜面上，如果不受外力，则静摩擦力必沿斜面向上;如果受外力则静摩擦力的大小和方向由外力的大小以及作用线位置决定.

[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出版社，1998.

[2]邢国祯，高春英.圆盘(刚体)纯滚动中静摩擦力的作用[J].辽宁工学院学报，1994，14(4):81-82.

[3]刘海.无滑滚动中静摩擦力的作用[J].六盘水师范专科学校学报，2001，13(4):40-41.

[4]梁志强.刚体纯滚动时静摩擦力方向的判据[J].物理通报，1997(12):10-11.

[5]李惠玲，郭志俊.纯滚动刚体所受静摩擦力的方向[J].山西师范大学学报，1998，12(1):43-45.

[6]刘大为，牛福龙.纯滚动轮所受静摩擦力方向的确定[J].甘肃联合大学学报，2008，22(6):51-53.

Abstract:Analyzing the movement of pure rolling rigid body on an rough oblique plane，this essay is a discussion on tralation and rotation state changing or not.It gives possible situations two approaches happening and is validated by an example.

Key words:pure rolling;static fviction;rigid body;slide;rotation

〔编辑 李海〕

An Analysis of the Movement of Pure Rolling Rigid Body

GAO Cai-yun
(School of Physics and Electronics Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009)

O311.2

A

1674-0874(2010)05-0032-02

2010-06-25

高彩云(1980-)，女，山西五台人，硕士，助教，研究方向:理论物理的教学与研究.