排列组合解题策略的再探究

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(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

排列组合解题策略的再探究

●言利水

(绍兴市第一中学 浙江绍兴 312000)

排列组合是重要的知识点，也是解决概率问题的基础工具，排列组合问题历来是高中数学学习中的难点.通过平时做的练习题不难发现,排列组合题的特点是条件隐晦、不易挖掘、题目多变、解法独特、数字庞大、难以验证.因此只有熟练掌握基本的解题策略，才可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来,把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础.本文把排列组合问题的常用解题策略作了详细的归纳，旨在帮助读者突破学习难关.

1 合理分类与分步策略

例1如图1，一环形花坛分成A,B,C,D这4块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为

( )

A．96 B．84 C．60 D．48

解可以分为3类：

因此,共有

本题还可另解：按A-B-C-D顺序分步种花，可分A，C同色与不同色有4×3(1×3+2×2)=84种不同的种法.

说明解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确.分步层次清楚、不重不漏，分类标准一旦确定就要贯穿于解题过程的始终.

2 相邻元素捆绑策略

例27个人站成一排,其中甲、乙相邻，且丙、丁相邻,问共有多少种不同的排法？

说明要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

3 不相邻问题插空策略

例3一条长椅上有7个坐位，4个人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另1个空位与这2个相邻空位不相邻，问共有多少种坐法？

说明元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两端.

4 定元定位优先排策略

例4由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

说明位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法.若以元素分析为主,则需先安排特殊元素,再处理其他元素;若以位置分析为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置;若有多个约束条件，则往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.

5 定序问题倍缩空位插入策略

例57人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?

思考可以先让甲、乙、丙就坐吗?

(插入法)先排甲、乙、丙3个人,共有1种排法,再把其余4人依次插入,共有4×5×6×7=840种方法.

说明定序问题可以用倍缩法，还可转化为空位法或插入法求解.

6 平均分组问题除法策略

例612名学生平均分为3个实习小组，3名教师各参加其中一组进行指导，则共有多少不同的分配方案？

若将本题看成是每个教师各选4名学生有如下解答.

7 名额分配问题隔板策略

例7有10个运动员名额，分给7个班，每班至少1个,有多少种分配方案？

(1)3个相同的球装入7个盒中,有多少装法？

(2)求方程组x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=10的正整数解.

(3)求方程组x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=3的非负整数解.

8 排列组合混合问题先选后排策略

例8有5个男生和3个女生，从中选取5个人担任5门不同学科的科代表，求有女生但人数必须少于男生的选法数.

说明解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.

9 小集团问题先整体后局部策略

例9用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中恰有2个偶数夹在1,5这2个奇数之间,这样的六位数有多少个？

说明在小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理.

10 环排问题线排策略

例108人围桌而坐,共有多少种坐法?

解围桌而坐与坐成一排的不同点在于:坐成圆形没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线,则其余7人共有(8-1)！种排法.

11 多排问题直排策略

例118个人排成前后2排,每排4个人,其中甲、乙在前排,丙在后排,共有多少种排法.

说明一般地,元素分成多排的排列问题,可先归结为一排考虑,再分段研究.

12 机会均等二分策略

例12某校高二期中考试安排考7门科目,若规定语文要在数学之前考,则有多少种不同的安排顺序?

13 重复排列问题求幂策略

例137名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由1人获得，求获得冠军的可能的种数.

解因为同一学生可以同时夺得5项冠军，所以学生可重复排列，将7名学生看作7家“店”，5项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法.故由乘法原理得,有75种可能.

说明解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复.把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置.一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种.

14 正难则反排除策略

例14从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中取出3个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

解直接求不小于10的偶数很困难,可用总体排除法.

说明对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减也不能少减.此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,容易造成遗漏或者重复的情况.如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也非常简便.

15 一一对应剩余策略

例15袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,若从袋中取出2元钱,则有多少种取法?

解把所有的硬币全部取出来,将得到

0.05×23+0.10×10=2.15元,

说明此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,则情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.

在组合问题中,有多少种取法就有多少种剩余法,它们是一一对应的,因此当求取法困难时,可转化为求剩余法.

16 实际操作穷举策略

例16设有编号1,2,3,4,5的5个球和编号1,2,3,4,5的5个盒子,现将5个球投入这5个盒子内,要求每个盒子放1个球，并且恰好有2个球的编号与盒子的编号相同,有多少种投法？

说明题中附加条件增多，当直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是一种行之有效的方法.

17 自身回避问题树图策略

例17同一寝室4个人,每人写1张贺年卡集中起来,然后每人各拿1张别人的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有多少种？

解设有甲、乙、丙、丁4个人,则甲拿乙的情况可用树图表示如下:

甲拿乙的情况有3种,同理甲拿丙或丁的情况也各有3种.

说明对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，例如本题利用枚举法或画出树状图会收到意想不到的结果.

18 分解与合成策略

例1830 030能被多少个不同的偶数整除?

解先把30 030分解成质因数的乘积形式:

30 030=2×3×5×7×11×13.

依题意可知,偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数的个数为

说明分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案.

19 转化与化归策略

例1925个人排成5×5方队,现从中选3个人,要求这3个人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

图2

说明当处理复杂的排列组合问题时,可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题找到求解的方法，从而进一步解决原来的问题.

20 集合划分策略

例20从0，1，2，3，4，5中任取3个，可以组成多少个没有重复数字且能被6整除的三位数.

解所求三位数有被6整除的特征，就是要被3和2整除，这个要求可分解为3个数之和要被3整除，而末位是偶数.因此选取的3个数中必须有偶数而且它们的和要能被3整除,有(0，1，2)，(0，1，5)，(0，2，4)，(1，2，3)，(2，3，4)，(2，4，5)这6类.

对各类进行排列计算，这是要先定末位(偶数)，再定首位(非0):

因此共有19个满足题意的数字.

说明研究有约束条件的排列问题，须要紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理，分析求解.

例21从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何2个数的和不等于11，则这样的子集共有

( )

A.10个 B.16个 C.20个 D.32个

解将和为11的数分组有(1，10)，(2，9)，(3，8)(4，7)，(5，6)共5组，只要从这5个集合中各取1个元素就符合题意，每个集合有2种取法，故有25=32个子集.

说明将集合中的元素进行划分，构造所需要的集合，是排列组合中有较高要求的问题.