不定方程 y3=x2+1250的全部整数解

管训贵

(泰州师范高等专科学校数理系,江苏泰州225300)

1 引言及主要结论

关于不定方程 y3=x2+k(其中k为给定的整数)已有不少研究工作[1].1621年,Bachet就注意到不定方程

有整数解(x,y)=(±5,3).他还指出了如何利用这组解求出 (1)的其它有理数解的方法.但是Bachet的方法无法求出 (1)的全部整数解.后来,Kummer创立代数数论后,利用代数整数环 Z[ -2]的唯一分解性,证明了 (1)仅有整数解(x,y)=(±5,3),这一问题才算告一段落.

本文利用初等方法证明了以下:

定理 不定方程

仅有整数解(x,y)=(±9,11).

2 关键性引理

引理1 不定方程

仅有整数解(a,b)=(±3,1).

证明 由 (3)可知,b|25,故b只可能取±1,±5,±25.经验算后有

类似可证

引理2 不定方程

仅有整数解(a,b)=(±3,-1).

引理3 不定方程

满足条件 (x,y)=1的一切整数解为

这里(a,2b)=1.

证明 可参见文献 [2]～ [8].

3 定理证明

设 (x,y)=d＞1,若2∣d,则2∣y,2∣x.这时有4∣y3,4∣x2.但4ł1250,故2łd,即d为奇数.而 x,y不可能一奇一偶,故 x,y均为奇数.又 d∣1250,故5∣ d,从而5∣ y,5∣ x.令y=5y1,x=5 x1,代入 (2)有

由 (5)知,5∣x21,从而5∣x1.令x1=5 x2,代入 (5)得

由 (6)知,5∣y31,从而5∣y1.令y1=5 y2,代入 (6)得

由引理3知

若3a2b-2b3=25,则由引理1知,a=±3,b=1,这时有 x=±9,y=11.

若3a2b-2b3=-25,则由引理2知,a=±3,b=-1,这时也有 x=±9,y=11.

综上,定理得证.

[1] 柯召,孙琦.谈谈不定方程 [M].上海：上海教育出版社,1980：45-61

[2] 李伟.不定方程 y3=x2+2的初等解法 [J].四川大学学报：自然科学版,1997,1(34)：16-19

[3] 管训贵.关于不定方程z2+2(2 xy)2=(x2-y2+2 xy)2[J].河北北方学院学报：自然科学版,2009,25(1)：14-15

[4] 管训贵.不定方程 x2-py2=z2的正整数解 [J].河北北方学院学报：自然科学版,2009,25(5)：5-7

[5] 管训贵.关于不定方程 x2+(p-1)y2=pz2[J].河北北方学院学报：自然科学版,2010,26(1)：12-14

[6] 管训贵.关于不定方程4 x2-py2=1[J].湖北民族学院学报：自然科学版,2011,29(1)：46-48

[7] 管训贵.关于Diophantine方程 y2=px(x2+2)[J].北京教育学院学报：自然科学版,2011,6(1)：1-2

[8] 管训贵.关于Diophantine方程 y2=p x(x2+2)的一点注记 [J].阜阳师范学院学报：自然科学版,2011,28(1)：45-46