离散频谱梯形窗幅度比值校正法的频率估计

朱 磊，董 亮，孙振龙，刘树东

（齐齐哈尔大学 a.通信与电子工程学院；b.招生办，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

0 引言

正弦信号的频率估计是信号处理领域中的一个非常重要的问题，而FFT算法的提出可快速有效地实现正弦信号的频率估计问题，但是由于FFT的频谱泄露和栅栏效应，使得直接由FFT来估计信号的频率效果不是很理想，因此必须进行频谱校正。1975年，John C.Burges采用插值法对加矩形窗的离散频谱进行校正[1]。1983年，Thomas Grandke提出了加汉明窗的内插校正法[2]。国内一些学者也提出了许多离散频谱的校正方法：如相似最大似然频率估计法[3]、比值法[4-8]、相位差法[9-10]、能量重心法[11]、FFT+DFT细化法等等。这些方法实现过程复杂，计算量大，不易于满足DSP的实时信号处理，特别在有噪声时，估计性能明显下降。

针对上述情况，笔者提出了一种离散频谱梯形窗幅度比值校正法。通过分析梯形窗函数的信号模型了解到，通过选取适当的两边倾斜度，可以获得较好的幅频特性。因此，本文在分析梯形窗时域、频域特性的基础上，利用离散频谱中最高谱线和次高谱线两条谱线的幅度比值关系，推导了加梯形窗的幅度比值频谱校正公式，采用仿真数据对该算法的频率校正精度进行了分析，并与加矩形窗时的频谱校正精度进行了比较，误差分析和实验结果表明该算法在信噪比较低时，估计精度高，性能明显优于加矩形窗的情况。

1 梯形窗函数模型

梯形窗函数的时域波形如图1所示。具体函数形式为

相应的幅值谱为图2所示，具体的表达式为

由图可见，梯形窗的主瓣宽度比较宽，绝对值最小的两个零点之间的距离为8π/τ+τ1，但是旁瓣电平比较低。表1为几个常见的窗函数幅频特性对比表，由表1可以知道，梯形窗函数是一种性能较好的窗函数，其幅频特性的主瓣宽度虽然比矩形窗函数幅频特性的主瓣宽度稍宽，但是其旁瓣衰减速度大于矩形窗的衰减速度，旁瓣电平低。而且，通过选取适当的τ1可以获得无负旁瓣，可以抵制变换中的高频干扰和泄漏，特别适合于有噪声的场合。

表1 几种窗函数的幅频特性

2 离散频谱梯形窗幅度比值校正法

下面来推导加梯形窗的离散频谱校正公式。设单频正弦信号x(t)的形式为

式中：A,α,φ分别为信号的频率、幅度、初相位。现在来考察这个信号在[0，T]上加梯形窗之后的频谱

进一步整理可简化为

这里的W(ω)就是式（2）的梯形窗函数的窗谱。在这里忽略负频率泄露的影响，只考虑ω＞0时的情况。这样有

如果信号的真实频率并不是正好落在离散频谱的整数根上，如图2所示。这时利用FFT变换所得到的频率估计值就会有误差，就需要进行频谱校正。设真实频率与FFT得到的最高幅值ab（谱线序号为k）之间的偏差为δ，幅值为X（k），次高谱线cd在k+1处，幅值为X（k+1），那么次高峰与真实频率之间的偏差为1-δ。则

可以解出

式中：δ∈[-0.5,0.5]。

由式（8）可见，梯形窗的频谱校正是利用了次高峰的峰值与最高峰的峰值之间的关系得到的。如果次高峰在最高峰的左边，那么校正频率为αˆ=(k-δ)Δf；如果次高峰在最高峰的右边，那么校正频率为αˆ=(k+δ)Δf。综上所述，信号的实际频率估计

式（9）就是离散频谱梯形窗幅度比值法的校正公式。

通过上述分析，可以得到新算法的实现步骤如下：

1）令 X（m）=FFT（x（n），其中 x（n）是 x（t）的采样序列。

2）查找abs（X（m））的最大值X（k），次大值X（k-1）或X（k+1）。

4）按照公式（9）估计信号的频率。

3 仿真实验

根据以上分析进行仿真实验。设信号形式如式（3）所示。信号的幅值为A=1，φ=0，采样点数N=512，采样频率fs=512 Hz。加矩形窗后的信号的频率校正误差和本文所提的梯形窗幅度比值法的频率校正误差的对比曲线如图3所示。可以看出，无噪声时，矩形窗的校正精度要比梯形窗的校正精度高，但是当信号质量明显下降时，即噪声比较大时，对本文所提的离散频谱梯形窗的校正精度影响较小，而对加矩形窗的校正精度影响较大。这说明梯形窗的抑制噪声的能力较强。

图4给出了两种方法的频率估计的均方根误差RMSE与SNR的变化关系，此时，α=102.125 Hz。从实验结果可见，无论是加矩形窗还是加梯形窗，这两种算法的校正精度都会随着信噪比的升高而逐渐趋近于真实频率。这是因为这两种算法都是从窗函数的数学定义出发来推导频率的校正公式，因此校正频率的精度较高。但同时也能看出，在信噪比较低时，梯形窗的校正效果要高于矩形窗；而信噪比高时，情况正好相反。这是因为梯形窗的旁瓣电平比较低，可以有效地抑制干扰，但主瓣宽度比矩形窗宽，因此在信噪比高时，其频率分辨率不如加矩形窗时的频率分辨率高。

4 结论

笔者从梯形窗的数学定义出发，给出了一种加梯形窗的离散频谱幅度比值校正法，利用最高谱线和次高谱线两条谱线的幅度比值关系，推导了加梯形窗的离散频谱校正公式，对加矩形窗和加梯形窗时的单频正弦信号的频率校正误差进行了比较。仿真结果表明，该频谱校正算法的校正精度在低信噪比时，明显优于加矩形窗的校正精度，而且运算简单，适合于低信噪比条件下的实时信号处理等场合。

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