张海燕, 张卫国, 李韶伟, 杨 刘
(上海理工大学理学院,上海 200093)
广义对称正则长波方程为
当b2=1/2,b3=0时,方程(1)成为对称正则长波方程
方程(2)是用于描述弱非线性作用下等离子声波传播的数学模型[1],它也出现在其他的许多非线性数学物理问题中[2].文献[1-2]给出了方程(2)的孤波解、守恒律和孤波解间的相互作用.关于方程(2)整体解和数值解方面的研究结果可参见文献[3 -5].文献[6]求出了方程(1)及一类更广义的对称正则长波方程的精确孤波解.文献[7]讨论了广义对称正则长波方程
孤波解的轨道稳定性和不稳定性.文中假设 f∈C1,当s>0时,f(s)>0,且当s→0时,|f(s)|= o(|s|p),|f′(s)|=o(|s|p-1),p>1,而且其假设1中要求所考虑的孤波解(φc,ψc)T中的 φc>0.(◦,◦)T表示转置运算,以下相同.
本文研究广义对称正则长波方程(1)孤波解的轨道稳定性.若将所研究的方程(1)化为方程(3)的形式,则f(u)=b2u2+b3u3,这里f(u)的表达式中有两个非线性项,且b2,b3不取定符号,故所研问题没有被包含于文献[7]中.而且由定理1可知,方程(1)实际上有两个钟状孤波解(φi,ψi)T,i=1, 2,其中,φ1(ξ)>0,φ2(ξ)<0,本文也将讨论(φ2, ψ2)T的轨道稳定性.故本文所研问题是新的且有意义的.
根据文献[6],方程(1)的孤波解
满足
其中,u′(ξ),u″(ξ)→0,|ξ|→∞,且孤波解的精确表达式由定理1给出.
定理1 设c2-1>0.
a.若b3c>0或b3=0且b2c>0,则广义对称正则长波方程(1)有一个钟状孤波解
b.若b3c>0或b3=0且b2c<0,则广义对称正则长波方程(1)还有一个钟状孤波解
现利用半群理论研究方程(1)柯西问题解的局部存在性.首先给出两个引理[8-9].
引理1 一个线性无界算子 A是C0半群{T(t):t≥0}的无穷小生成元的充分必要条件是A为稠定的闭算子,且存在实数M与ω,使当λ>ω时,有
其中,ρ(A)为预解集,R(λ;A)n为预解式.
引理2 对非线性方程的柯西问题
a.A是空间X上的某个C0半群T(t)的无穷小生成元;
b.f∈C(R+×X,X)满足Lipschiz条件:对∀T>0,存在K=K(t),使‖f(t,u)-f(t,v)‖≤K(t)‖u-v‖,∀u,v∈X,t∈[0, T],则初值问题(6)在R+上存在唯一解
根据引理1与引理2可以推出关于方程(1)柯西问题解的局部存在性的引理3.
证明 首先可将方程(1)化为
其中
现证明A是空间X上的某个(C0)半群的无穷小生成元,且D(A)=H1×L2.
据引理1可知,只要证明存在实数 ω,使得当λ>ω且λ∈ρ(A)时,有
由式(10)可知
根据式(11)可知
综上,据引理1和引理2即知引理3成立.
首先将方程(1)化为Hamilton系统
其中
设在空间X=H1(R)×L2(R)上有内积
X的对偶空间为X*=H-1(R)×H-1(R).X与X*间存在自然同构I:X→X*,定义为其中,〈◦,◦〉表示X与X*之间的配对
设T是X上具有单参数的酉算子群,定义为
显然
易知
方程(1)的孤波解式(4b)、式(5)可表为
式中,φ1(x),φ2(x)分别由式(4b)、式(5b)给出.现考虑孤立波解T(ct)(x)的轨道稳定性.为不重复,取定(x)为(x)和(x)之一.验证T(ct)(x)满足Grillakis-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论[10-11]的条件.
首先,由引理3可知,方程(1)的初值问题存在唯一解,且易证由式(14)、式(18)定义的E()、Q()分别满足
其次,可证引理4.
对式(19)两边积分,得
式中,a1,a2为积分常数.
由于 φc、ψc、φcξ ξ→0,当|ξ|→∞时,故有a1= 0,a2=0,从而有
现考虑算子Hc,并进行谱分析.
算子Hc:X→X*定义为,这里
故有
由式(19)可得
整理得
令
根据文献[10-11]可得引理5.
引理5 对满足〈y,χ〉=〈y,φcx〉=0的任意实函数y∈H1(R),存在δ>0,使得
令
有
令
有
令
则
综上所述,当c>1时,可对Hc谱分解为
因此,空间X可分解为直和X=N+Z+P,其中,Z为Hc的核空间,N为一个有限维空间,P为一个闭子空间.
于是,由引理3~5,以及对 Hc的谱分析,可得关于广义对称正则长波方程(1)孤波解轨道稳定的一般性结论.
首先将式(23)化为显式且化简.据定理1中式(4)和式(5)可知,将它代入式(23),再作代换则有
由于-2<Bi<0,解出中的积分,并代入原式,可得
当Bi=B1时
当Bi=B2时
化简,得
其中
进一步,设
则式(25)可等价表示为
式(26)可等价表示为
令g(x)=x(π-2arctan x),有
g(x)在x0处取极大值,这里x0满足g′(x0)=0,有
b.对于M2.当b2>0时,有 x∈(0,+∞), M2∈(0,+∞).当b2<0,则
与考察M1时同理,可证M2∈(-2,0).
基于d″i(c)的显式表达式(30)、式(31)和关于其中M1、M2的讨论,现给出较为容易判别孤波解和轨道稳定的充分性条件.
当b2>0时,为得到c满足何种条件时d″1(c)>0,只需考虑在式(30)中取M1=2时, d″1(c)>0的条件.现在式(30)中取M1=2,通分并注意此时分母恒正,可知当c的取值满足
当b2<0时,式(30)中-3M1(2c-k2)>0.为使d″1(c)>0,即孤波解轨道稳定,只需取c满足
当b2>0时,因此时有M2∈(0,+∞),为使d″2 (c)>0,只需取c满足式(33).
当b2<0时,因此时有M2∈(-2,0),为使d″2(c)>0,只需考虑在式(31)中取M2=-2时d″2(c)>0的条件,易知只需取c满足不等式(32).
综上可得定理3.
a.若b2>0,且波速c使不等式(32)成立,或当b2<0时,波速c使不等式(33)成立,则孤波解轨道稳定.
b.若b2>0,且波速c使不等式(33)成立,或当b2<0时,波速c使不等式(32)成立,则孤波解轨道稳定.
当b2>0时,因此时式(30)中-3M1(2c-k2)>0,为使d″1(c)>0,只需考虑取M1=0时d″1(c)>0的条件.易知当c满足式(32)时,d″1(c)>0,从而孤波解轨道稳定.
当b2<0时,因此时式(31)中3M2(2c-k2)>0,为保证d″2(c)>0,只需考虑取M2=0时 d″2(c)>0的条件.易知此时只需取c满足式(33), d″2(c)>0即成立,从而孤波解轨道稳定.
综上可得定理4.
研究了具两个非线性项的广义对称正则长波方程(1)孤波解的轨道稳定性.应用文献[10-11]中提出的轨道稳定性理论,经过方程解的局部存在性证明、有界态存在的证明以及算子Hc的谱分析与计算,给出了判别方程(1)孤波解轨道稳定的一般性定理.利用所求方程(1)的两个精确孤波解(φi,ψi)T, i=1,2,给出了判断它们轨道稳定的判别式d″i(c)的显式表达式.进一步利用分析方法导出了较为容易判别这两个孤波解(φi,ψi)T轨道稳定的充分条件——定理3和定理4.
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