带启动期的Geom/Geom/1可中止工作休假排队

潘小春，朱翼隽

(江苏大学理学院，江苏镇江212013)

0 前言

近年来，Servi和Finn［1］引入了一类半休假策略，服务员在假期并未完全停止工作而是以较低的速率为顾客服务，这种休假策略称为工作休假。田乃硕［2］分析了离散时间Geom/Geom/1单重工作休假排队，得到了系统中的顾客数和任意顾客的逗留时间的稳态分布，并阐明了队长和逗留时间的随机分解性质。尔后，李继红等［3－4］研究了M/M/1休假可中止的工作休假排队。朱翼隽等［5］研究了休假可中止的M/G/1工作休假排队。2009年，汪文飞［6］运用矩阵几何解的方法求得到达时刻队长的稳态分布，而且证明了其可以分解为三个独立随机变量的分布的和。

本文在文献［2］的基础上引入关闭和启动期并把工作休假扩展为休假可中止的工作休假。如果休假期间的服务速率退化为零，就得到经典的带关闭和启动期的Geom/Geom/1的单重休假排队。休假可中止考虑了生产实际中某些指标达到一定的值时有必要转入正常服务这一客观事实。例如在分析通信网中信息流与信道，传送的数据和中央处理单元之间的关系时，如果信息或者数据达到的一定的数量，这时信道或数据处理单元即使处在低速服务期也必须返回正常服务。

1 模型描述

带关闭和启动期的休假可中止Geom/Geom/1单重工作休假排队模型可描述如下:

到达间隔T、服务时间Sb与Sν、启动时间U、休假时间V相互独立分别服从参数为p，μb，μν，γ，θ的几何分布。潜在的顾客到达发生在时隙末端(n，n)，服务的开始和结束都发生在时隙分点t=n上，启动时间U开始和结束也只发生在时隙分点t=n处。为确定起见，假设休假的开始与结束都发生在时隙末端(n，n)上。

有两种可能的方式从工作休假转入正规忙期:(1)工作休假期内以速率μν完成一个服务，并且系统中有顾客等待，则中止正在进行的工作休假转入正规忙期，若服务完成时系统中无顾客，则关闭系统。新到达的顾客不能立即接受服务，而是需经历一个启动期，启动期结束后进入一个正规忙期以速率μb接受服务，正规忙期结束后进入工作休假。(2)若某次工作休假结束时系统内有顾客在场，正在进行的服务速率由μν转换到μb，开始一个正规忙期;一次工作休假结束时系统内无顾客，也关闭系统，新到达的顾客也必须经历一个启动期，启动期结束后进入正规忙期接受服务，一个正规忙期结束后进入工作休假。称这样的休假机制为休假可中止的工作休假策略。

根据文献［7］，本文讨论的是晚到有延迟入口的离散时间排队模型。

其中，状态(k，0)，k≥0表示系统处于工作休假期且系统中有k个顾客;状态(k，1)，k≥1表示系统处于启动期且系统中有k个顾客;状态(0，1)表示系统处于关闭期;(k，2)，k≥1表示系统处于正规忙期且系统中有k个顾客。

的最小非负解R起着重要作用，称为率阵，为表出R，记c=。

定理1 当c＜1时，即p＜μb，矩阵方程(1)有最小非负解

证明 由于A，B，C均为上三角阵，那么R也是上三角的，即

将R2和R代入式(1)，得到下述方程组

计算结果见a，b，c，d，f。

2 稳态队长分布

当c＜1时，设(L+，J)表示(L，Jn)的稳态极限，平稳分布记为

定理3 c＜1时，(L+，J)的联合概率分布为

证明 用矩阵几何解方法(见文献［9］)，得到

把B［R］代入上述方程中，得到方程组

取π00=K，

把(π1，0，π1，1，π1，2)和Rk1代入式(5)，得到式(4)。最后，常数因子π00=K由正规化条件π00+π01+π1(IR)－1e=1确定。

3 队长和逗留时间的随机分解结构

定理4 当c＜1且μν＜μb时，稳态队长L+可分解成两个独立的随机变量之和L+=L+Ld，其中L是经典无休假的Geom/Geom/1排队中稳态下的稳态队长且服从参数为1－c的几何分布，由单重休假可中止的工作休假引起的附加队长Ld服从修正的几何分布，有概率母函数。

证明 由式(4)知，L+的概率母函数可写成

容易验证，γ1+γ2+γ3+γ4=1，因此Ld(z)确是一个PGF。由定理4中的分解结构，有下列均值公式

以W和W(s)表示稳态下顾客在系统中的逗留时间及其PGF。注意到对应的无休假Geom/Geom/1排队中顾客逗留时间W0有PGF:

定理5 当c＜1且μν＜μb时，逗留时间W可分解成两个独立随机变量之和:W=W0+Wd，W0是对应无休假系统中的稳态逗留时间，有上式所给的PGF;由休假可中止的工作休假引起的附加延迟有PGF:

其中，

证明 使用稳态队长L+与逗留时间W之间的经典关系

在L+(z)的表达式

这样得到

容易得到下列均值公式

［1］ Servi L D，Finn SG.M/M/1 Queue with Working Vacations(M/M/1/WV)［J］.Perform Evaluation，2002，50:41－52.

［2］ Li J，Tian N.Analysis of the Discrete Time Geo/Geo/1 Queue with Single Working Vacation［J］.Quality Technology and Quantitative Management，2008，5(1):77－89.

［3］ Li Jihong，Tian Naishuo.The M/M/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruptions［J］.Syst Sci Syst Eng，2007，16(1):121－127.

［4］ Li Jihong，Tian Naishuo，Ma Zhanyou.Performance Analysis of GI/M/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption［J］.Applied Mathematical Modeling，2008，32(12):2715－2730.

［5］ 朱翼隽，石秀闯.M/G/1工作休假和休假中止排队［J］.运筹与管理，2008，17(4):67－71.

［6］ 汪文飞，李俊平.带单重指数工作休假和休假中断的GI/M/1的排队系统［J］.数学理论与应用，2009，29(3):94－97.

［7］ Hunter J J.Mathematical Technaques of Applied Probability Vol.Ⅱ:Discrete Time Models:Techniques and Applications［M］.New York:Academic Press，1983.

［8］ 田乃硕，徐秀丽，马占友.离散时间排队论［M］.北京:科学出版社，2008.

［9］ Neuts M.Matrix-geometric Solution Stochastic Models［M］.Baltimore:Johns Hokpins University Press，1981.