分数微分方程边值问题正解的存在与不存在性

李瑞瑞，刘文斌

(中国矿业大学理学院，江苏徐州221116)

0 前言

近年来分数阶微分方程问题得到了广泛的研究，一方面是由于分数积分及微分本身的发展;另一方面是因为其在物理、化学、力学等领域的应用［1－2］。文献［3］研究了分数阶两点边值问题，文献［4］利用锥拉伸与锥压缩不动点理论讨论了含参数的分数阶两点边值问题正解的存在与不存在性。文献［5］用锥上不动点定理，研究了奇异非线性狄利克雷边值问题解的存在性。

本文进一步研究了下述问题:

解的存在性与不存在性。其中，Dq0+是Riemann－Liouville导数;λ＞0参变量;a:［0，1］→［0，+∞)连续且不恒为零;f:［0，+∞)×［0，+∞)→［0，+∞)连续，主要利用的工具是锥拉伸锥压缩不动点理论。

1 预备知识

定义1 函数f(x)在Riemann－Liouville意义下s阶分数积分指

定义2 函数f(x)，x≥0在Riemann－Liouville意义下s阶分数微分指

引理1 若y(t)∈C［0，1］且y(t)≥0，则分数阶微分方程边值问题

引理2 G(t，s)有下面的性质:

证明

证明 证明过程类似引理2，在此略去。

引理5 设X是一巴氏空间，P是X中一个锥，设Ω1，Ω2为P中开子集，且0∈Ω1⊂Ω2，令T: P∩Ω1)→K为一全连续算子，若下列条件之一满足:

(H1)当u∈P∩∂Ω1时，Tu≤u;当u∈P∩∂Ω2时，Tu≥u。

(H2)当u∈P∩∂Ω1时，Tu≥u;当u∈P∩∂Ω2时，Tu≤u。

则T在P∩(Ω2Ω1)中有一不动点。

2 主要结果

u(t)是问题(1)和问题(2)的解等价于u(t)满足下面的积分方程:

定义其上范数uX=+Du(t=u+Du，其中· 是连续函数空间中的最大值范数，则X是一个巴拿赫空间［9］。定义锥P(⊂X):P={u(t)∈X:u(t)+Du(t)≥uX}，

定义T:P→X，

由P的定义，容易证明T(P)(⊂P)一致有界，且等度连续。由Arzela－Ascoli定理知:T(P)相对列紧。又T是连续的，故T是全连续的。

为行文的方便，定义下述重要的常数

定理1 设Af∞＞Bf0，则对于λ∈)，问题(1)和问题(2)至少有一正解。

证明 取ε＞0充分小，使得(f0+ε)Bλ≤1，由f0的定义，存在l1＞0，使得当0＜+≤l1时，f(u，ν)≤(f0+ε)(+)。若u∈P且uX=l1，则

取Ω1={u(t)∈X:uX＜l1}，则由上知:当u∈P∩∂Ω1时，TuX≤uX。

故取Ω2={u(t)∈X:X＜l2}，则Ω1⊂Ω2，且u∈P∩∂Ω2时，X≥X。

由上，引理5中条件H1成立，所以T在P∩(Ω1)有一不动点，即为问题(1)、(2)的正解。

定理2 设Af0＞Bf∞，则对于λ∈()，问题(1)、(2)至少有一正解。

证明 取ε＞0充分小，使得(f0ε)Aλ≥1，由f0的定义，存在l1＞0，使得当0＜+≤l1时，f(u，ν)≥(f0ε)(+)。若u∈P且X=l1，则:

取Ω1={u(t)∈X:X＜l1}，则由上知:当u∈P∩∂Ω1时，X≥X。

类似定理1，可以证明，u∈P，Ω2={u(t)∈X:X＜l2}，X=l2，即u∈P∩∂Ω2时，X≤X。

由上，引理5中条件H1成立，所以T在P∩(Ω2Ω1)中有一不动点，即为问题(1)、(2)的正解，结论得证。

证明 反证:假设u是问题(1)、(2)的一个正解，则:

矛盾，故结论得证。

证明 反证:假设u是问题(1)、(2)的一个正解，则:

矛盾，故结论得证。

［1］ Samko SG，Kilbas A A，Marichev O I.Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications［M］.Yverdon:Gordon and Breach Sci Publishers，1993.

［2］ Podlubny I.Fractional Differential Equations，in:Mathematics in Sciences and Engineering［M］.San Diego:Academic Press，1999.

［3］ Bai Zhanbing，Lv Haishen.Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.JMath Anal Appl，2005，311:495－505.

［4］ El－shahed M.Positive Solutions for Boundary Value Problem of Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.AIP Conf Proc，2009，1124:101－108.

［5］ Agarwal R P，O’Regan D，Stank S.Positive solutions for Dirichlet Problems of Singular Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.JMath Anal Appl，2010，371:57－68.

［6］ Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations，in:North－Holland Mathematics Studies［M］.Amsterdam:Elsevier Science BV，2006.

［8］ Krasnosel’skill M A.Positive Solutions of Operator Equations［M］.Froningen:Noordhoff，1964.

［9］ SU Xinwei.Boundary Value Problem for a Couple System of NBonlinear Fractional Differential Equations［J］.App Math Lett，2009，22:64－69.