基于LPV模型的航空发动机控制器Kalman滤波器设计

李述清，张胜修，刘毅男，周志清

（第二炮兵工程学院，西安 710025）

1 引言

航空发动机是复杂的非线性系统，其气动参数随外界条件及工况的变化改变较大。利用非线性数学模型对发动机的控制器进行设计，可以获得很高的控制精度，但由于计算量巨大，算法复杂，使得动态模型的计算速度和有效性在工程应用中受到一定影响。因此，通常利用线性化方法建立航空发动机线性模型，再根据线性系统理论进行控制器设计，这样便于解决工程问题[1]。发动机线性模型虽然有很多优点，但是主要应用于稳态控制分析，对于工况偏离线性模型设计点较大情形就不适合了。许多新型建模方法[2-5]同时考虑了模型的准确性和实时性，其中发动机线性变参数（LPV）模型能够方便地适应发动机动态过程分析和控制器设计[4-9]，得到迅速发展。文献[4,5]根据航空发动机非线性模型，采用内插或拟合方法求取线性状态空间模型系数矩阵元素，建立基于局部线性模型的涡扇发动机LPV模型，并在动态过程中得到应用。

同时，自从1960年卡尔曼滤波算法(Kalman filter：KF)[10]提出以来，成为控制、信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一，并已成功地应用到航空、航天、工业过程及社会经济等不同领域。然而KF算法主要针对线性系统模型，极大地限制了KF算法的应用范围[11]。为了把KF算法应用于非线性系统，可把非线性模型线性化，然后再使用KF算法估计系统状态。其中，推广卡尔曼滤波(EKF)是1种应用最广泛的非线性系统滤波方法。EKF与线性卡尔曼滤波公式完全类似，只是上述滤波公式中系统状态系数矩阵需要在线由非线性函数的偏导计算得到[12,13]。卡尔曼滤波方程的应用都存在非线性系统线性化近似的问题，即需要实时更新系统的线性化模型，然后应用Klaman滤波基本方程，解决非线性滤波的问题。由于需要不断根据非线性系统方程进行线性化处理，以修正系统线性化模型，这显然增加了滤波算法的复杂性和计算量，不便进行数据处理。

如前所述，对于LPV模型这类特殊的非线性系统，其模型描述形式具有线性系统的特点，即其模型系数矩阵是关于1个调度变量的函数，而这个调度变量可以根据系统的可测量来定义。这样，可以为Kalman滤波器方程中相关系数矩阵更新提供方便以快速跟踪实际系统的变化，而无需进行线性化过程的实时计算，大大简化了计算步骤。显然，开展航空发动机基于LPV模型的滤波方法研究，可以提高发动机性能分析和控制器设计效能，并具有显著的工程和理论意义。

本文针对航空发动机线性变参数模型，提出1种简便的改进Kalman滤波方法，并通过仿真对比，检验了该方法的有效性。

2 涡扇发动机LPV建模

某型涡扇发动机非线性模型为

对于本文研究的双转子几何不可调涡扇发动机,只考虑2个独立转子部件为储能元件，并取系统状态变量x=[n1, n2]′，输入为主燃室供油流量u=Wf，输出为低压转子转速y=n1。

在涡扇发动机平衡点（u0,x0,y0）附近，可构建局部线性模型，继而可得到线性模型簇[4]

式中:A、B、C和D为常数矩阵。

根据LPV系统建模方法，基于发动机线性模型（式（2）），采用内插或拟合方法求取模型（式（2））中系数矩阵[4]，得到如下涡扇发动机LPV模型

式中:系数矩阵 A(ρ)、B(ρ)、C(ρ)和 D(ρ)中各元素是调度变量ρ的函数；下标“0”为仿真计算初始值。

如果ρ包含状态变量的元素，则称为准LPV（quasi-LPV）模型。

为了建立上述航空发动机LPV模型，在地面静止状态(H=0,Ma=0)、标准大气条件下，通过发动机非线性计算程序，在n1转速范围70%～110%间选取若干稳定工作点，依次在这些工作点处使用动态响应拟合法[14]求得发动机局部线性传递函数模型。

考虑低压转子转速n1是表征涡扇发动机工作、实施发动机控制的重要参数，且为发动机系统的测量参数，因此，选取n1作为发动机LPV模型调度变量ρ是合适的，即ρ=y=n1。

然后对各工作点对应传递函数模型的系数进行关于调度变量的2次多项式拟合，拟合效果如图1所示（图中：“model”对应实际值，“fit”对应拟合值）。

3 基于LPV模型的Kalman滤波器设计

对于下面考虑控制作用的线性系统

经典线性离散卡尔曼滤波方程[12]为

在一般工程实践中，滤波方程的状态方程或测量方程常是非线性方程，经典滤波方程（式（4））并不能直接使用。基于LPV模型（式（1））具有线性模型结构形式的特点，采用与Kalman滤波器类似的预测修正结构，给出如下离散滤波器

由此，根据滤波方程（式（（5）），可以通过调度变量ρ(k)=y(k)实时更新Kalman滤波器系统方程的系数矩阵，从而实现Kalman滤波器方程与系统动态特性相匹配，从而提高滤波准确性。方便起见，本文记为LPV-KF。

于是，根据涡扇发动机LPV模型（式（3））及LPV-KF方程（式（（5）），即可构造涡扇发动机LPV-KF滤波器。

4 基于Klaman滤波器的涡扇发动机转速控制回路

通过涡扇发动机转速控制回路，可以实现发动机转速的稳定控制。发动机主供油量执行机构可视为时间常数为0.1 s的惯性环节。控制器设计，可考虑地面静止状态(H=0,Ma=0)条件下，根据发动机非线性模型在90%转速稳定工况近似线性模型，采用增益成形PID设计方法，设计得PID参数：Kp=0.5628,Ki=0.6966,Kd=0.0298。

再结合前面所建立LPV-KF环节，容易构建基于Kalman滤波器的发动机转速控制系统闭环结构，如图2所示。

5 仿真

为了检验本文改进LPV-KF方法的有效性，利用该型涡扇发动机部件非线性模型，进行仿真检验。假设1个典型发动机转速控制过程：从稳态低工况约80%转速点，以阶跃响应形式依次加速过渡到稳态工况90%和100%转速点，然后减速到80%转速点。对此转速控制过程进行仿真，并分别采用本文所构造涡扇发动机LPV-F进行滤波，估计发动机模型状态x=[nl,nh]T，以及输出y=n1，并与非线性模型计算结果进行比较。

其中，根据发动机燃油流量传感器性能，设系统噪声Q=0.00012；根据发动机低压转子转速传感器性能，设测量噪声R=0.0052；系统初始状态x(0)=[0.8 0.894]2，滤波误差方差阵初值P0=diag([0.12,0.12])，仿真计算时间步长0.01s。

不考虑该LPV-KF环节（图中虚线所示）和考虑该LPV-KF环节（如图中实线所示）作用所得燃油流量响应如图3所示。显然，该LPV-KF环节能够有效改善平滑供油，并有利于改善控制的准确性和平稳性。

图4～6分别给出了考虑该LPV-KF环节时，在上述转速控制过程仿真中所得发动机控制系统输出低压转子转速y和系统状态低、高压转子转速nl、nh的响应值（图中虚线所示）和滤波值（图中实线所示）效果。一方面，转速控制过程平稳、准确；另一方面，该LPV-KF环节对各参量均达到良好的跟踪和滤波平滑效果，滤波后的噪声明显减小，这显然有利于改善控制的准确性和平稳性。

6 结束语

本文针对航空发动机LPV模型，提出了1种改进Kalman滤波器设计方法，并应用于某型涡扇发动机控制系统中。通过对涡扇发动机宽工况变化过程进行仿真，表明该滤波器可实现对系统输出和状态的有效跟踪和滤波。

同时，本方法无需在线对系统的线性化模型进行计算，求解过程简洁，可以简化相关的理论分析、计算和工程实现。

[1]孙健国.现代航空发动机多变量控制系统[M].北京:北京航空航天大学出版社,2005.

[2]陈敏,唐海龙,张津.某型双轴加力涡扇发动机实时性能仿真模型[J].航空动力学报,2005,20(1):13-17.

[3]胡卫红,李述清,孙健国.基于非线性系统平衡流形的某型涡扇发动机建模研究[J].航空动力学报,2010,25(1):213-217.

[4]李华聪,王鑫,韩小宝,等.航空发动机线性变参数建模方法研究[J].推进技术,2007,28(4):418-421.

[5]Reberga L, Henrion D, Bernussou J, et al. LPV Modeling of a Turbofan Engine [C].16th FACWorld Congress. Prague, 2005.

[6]James A Turso, Jonathan S Litt. Intelligent Robust Control of Deteriorated Turbofan Engines via Linear Parameter Varying QuadraticLyapunovFunctionDesign[R].NASA/TM- 2004- 213375.

[7]Balas G J, Ryan J, Shin J Y, et al. A NewTechnique for Design of Controllers for Turbofan Engines[R].AIAA 98- 3751, 1998.

[8]Giarre L, BausoD, Falugi P, et al. LPVModel Identification for Gain Scheduling Control an Application to Rotating Stall and Surge Control Problem [J].Control Engineering Practice, 2006, 14（4）:351- 361.

[9]Gary J Balas, Jack Ryan, Jong- Yeob Shin, et al. A NewTchnique for Design of Controllers for Turbofan Engines [R].AIAA 98- 3751.

[10]Kalman R E. A New Approach to Linear Filtering and Predietion Theory [J]. Joural of Basic Engineering. 1960,62（1）:34- 45.

[11]邹卫军,薄煜明.差分线性化EKF滤波方法研究[J].计算机工程与应用,2009,45（9）:64-66.

[12]王志贤.最优状态估计与系统辨识[M].西安：西北工业大学出版社,2004.

[13]张友民,戴冠中,张洪才.卡尔曼滤波计算方法研究进展[J].控制理论与应用,1995,12(5):529-538.

[14]冯正平,孙健国,黄金泉,等.一种建立航空发动机状态变量模型的新方法[J].航空动力学报,1998,13（4）:435-438.