基于线性化解耦的永磁直线伺服系统H∞鲁棒控制器的设计*

蓝益鹏，杨 波，张振兴

(沈阳工业大学电气工程学院，沈阳 110870)

0 引言

永磁直线同步电动机在数控机床伺服系统中得到了广泛地应用。然而，由于永磁直线电动机模型存在着非线性和变量间的耦合，给系统的控制带来了诸多困难［1-3］。直线伺服系统是由电流控制子系统和速度控制子系统所构成，对高速、高精速度跟踪控制系统来说，如果两个子系统的时间尺度大小相对接近，就必须考虑模型的非线性以及电流和速度之间的耦合，否则，因为电流和速度之间的非线性耦合作用将直接导致系统速度跟踪品质变坏［4-5］。

在这里，基于状态反馈线性化方法来实现PMLSM模型的精确线性化和动态解耦。利用非线性坐标变换和非线性反馈将系统解耦成相互独立的线性电流子系统和速度子系统。然后，再使用线性H∞鲁棒控制方法来设计控制器［6-10］。使数控机床永磁直线伺服系统具有良好的速度跟踪性能和对负载扰动的抑制能力。

1 永磁直线同步电动机的非线性数学模型

永磁直线同步电动机非线性数学模型为［2-3］:

式中，s为动子的线位移，v为速度，Fl为负载阻力，M为动子质量，B为粘滞摩擦系数，id，iq分别为d，q轴电流，np为极对数。式中含有非线性耦合项 iqv，idv，idiq，为了得到系统的线性模型，就必须消除iqv，idv，idiq非线性耦合项。

为此，定义状态变量(ξ1，ξ2，ξ3，ξ4)T=(id，iq，s，v)T，则系统可写成如下标准放射非线性系统的形式:

2 状态反馈线性化控制律

用输入输出解耦线性化方法，首先需要确定系统(2)的相对阶。在这里先进行相关计算，再根据计算结果选择一个合适的讨论区域。经过计算有［5］:

根据己知常数的具体数值可以得出，当(Ld-Lq)ξ1+ψPM≠0时B(X)非奇异，控制系统的相对阶集合为{1，3}。由上可知，相对阶q=q1+q2=1+3=4。

定理［5］1:若系统在X0点的邻域内具有相对阶集合{q1，q2，…，qm}，则在 X0点的邻域内，可通过下面的状态反馈控制律使系统实现输入输出解耦线性化。

式(7)中，第一项和第二项分别为非线性反馈控制和线性反馈控制部分。这样由u=α(ξ)+β(ξ)u'和ξ=Φ-1(X)就可以对系统(1)进行输入输出反馈线性化解耦。

根据定理1的证明过程，可推导出状态变量为X的系统闭环方程为:

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为实现上述线性化控制律，必须保证ψPM+(Ld-Lq)id≠0。所以，通常使直轴电流id=0，所以上述条件能够得到满足。由于相对阶总数q=4与系统维数相等，所以反馈线性化后的线性系统是完全可控的。

3 H∞鲁棒控制器设计

采用鲁棒控制方法设计线性系统的控制律。设x5为辅助的状态变量，v*为速度参考输入，与(10)式的被控对象一起构成增广对象。

系统的增广状态方程为:

系统的输出为:

将以上的线性系统控制归结为标准的H∞控制问题，由(11)-(14)式可得到增广被控对象的状态空间实现如下:

且D12列满秩，[A B2]可稳定。即:

对系统(4.67)要求设计反馈状态控制器:

成立的充分必要条件是存在正定解X＞0，满足Riccati不等式:

若上述不等式有正定解X＞0，则使闭环系统稳定且式(4.34)成立的反馈阵由下式给出:

选取加权系数:q1=1，q2=0.0001，ρ1=1.44，ρ2=9，γ =0.2。

求解(19)得正定阵:

4 仿真研究

采用自行研制的永磁直线同步电动机的参数:M=11Kg，B=1.1N·s/m，φPM=0.00144Wb，Ld=Lq=18.0mH，Rs=1.2，np=1，τ=30mm，鲁棒控制器加权系数:q1=1，q2=0.0001，ρ1=1.44，ρ2=9，=0.2。控制器参数如式(22)所示。

用matalab对系统进行仿真研究，在输入信号分别为正弦信号和单位阶跃信号时得到研究结果如图2，3所示。

图1是系统对正弦速度信号的跟踪响应曲线。其中，点线为参考信号，实线是响应曲线，由图可知系统具有很好的跟踪性能。

图1 正弦速度信号的跟踪响应曲线

图2是单位阶跃信号时的速度响应曲线局部放大图。点线为参考信号，实线是响应曲线。在t=0.4s时突加Fl=100N的负载扰动，在0.6s时卸去扰动，由图可知系统具有良好的抑制扰动的特性。

图2 阶跃速度响应曲线

5 结束语

针对永磁直线同步电动机模型的非线性和变量间存在耦合的特点，采用状态反馈线性化方法来实现了模型的精确线性化和动态解耦。并利用非线性坐标变换和非线性反馈将系统解耦成独立的线性电流子系统和速度子系统。通过设计H∞鲁棒控制器来实现速度跟踪控制。仿真结果表明，用该方法控制的数控机床永磁直线伺服系统具有良好的速度跟踪性能和对干扰的抑制性能。

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