负二项分布可靠度的E-Bayes估计

苏清华，胡中波

(1. 孝感学院 数学与统计学院，湖北 孝感 432000；2. 武汉理工大学 理学院，湖北 武汉 430074)

在生产、生活中人们对产品的可靠性要求越来越高，如果用成败型实验对产品进行可靠性测试，那么产品寿命是以成败次数来衡量的. 负二项分布就是此类测试产品寿命服从的分布之一.

在高可靠性产品的重复独立抽样检验中，θ(0<θ<1)为每次抽到合格品的概率，当第r个合格品出现时终止试验.X为第r个合格品出现之前不合格品的个数，则X服从参数为r和θ的负二项分布，其分布律为：

(1)

其中:r>0已知，θ为产品的可靠度(或合格品率、成功率).

目前已有不少文献探讨了求负二项分布可靠度的Bayes估计、经验Bayes估计和多层Bayes估计的方法，但几乎都是在平方损失的情况下进行讨论. 而E-Bayes估计可以看作是对多层Bayes估计的修正，自E-Bayes估计法提出以来[1]，主要研究的是几何分布、二项分布和Pascal分布可靠度的估计[2-4]，以及失效概率和状态概率的估计[5-6].本文作者在文献[7]中给出了熵损失函数下，先验分布为幂分布时，负二项分布可靠度的E-Bayes和多层Bayes估计. 本文则进一步在熵损失函数下，给出了当负二项分布可靠度的先验分布为Beta分布时，可靠度的Bayes估计、E-Bayes估计及多层Bayes估计，并通过数值试验讨论先验分布为幂分布时，负二项分布可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计的优越性.

(2)

其中δ是θ的估计，且L(θ,δ)关于δ是严凸的.

给定负二项分布(1)中可靠度θ的先验分布为Beta分布，其密度为:

(3)

其中：a>0,b>0,0<θ<1.当b=1时，Beta分布即为幂分布，其密度为：π(θ|a)=aθa-1.

1 可靠度的Bayes估计

证明令δ(x)是θ的任一估计，在熵损失函数(2)下，δ(x)的Bayes风险为:

(4)

对上式关于δ求导并令其等于零，可得：δ=[E(θ-1|x)]-1，且当δ→1或0时后验风险趋于+，从而δ=[E(θ-1|x)]-1即为使后验风险最小的估计，故对于任何先验分布在熵损失函数(2)下，负二项分布可靠度θ的唯一Bayes估计为：δB(x)=[E(θ-1|x)]-1.

给定θ的先验分布为Beta分布(3)，则根据Bayes定理，θ的后验密度函数为:

于是，在熵损失函数(2)下，先验分布为Beta分布(3)时，θ的唯一Bayes估计为:

令b=1，即可得可靠度的先验分布为幂分布时，负二项分布(1)的可靠度θ的唯一Bayes估计为：

2 可靠度的E-Bayes估计

由模型(1)在高可靠度成败型试验中获得的样本数据大部分包含的次品数极少，一般X=0,1,2，因此可靠度θ较大的可能性大，而较小的可能性小. 根据构造多层先验分布的增函数法[8]，应选取θ的增函数作为θ的先验分布的密度函数的核，因此Beta分布(3)中应选择a>1,0

定理2 对负二项分布(1)，在熵损失函数(2)下：

1)若可靠度θ的先验分布为Beta分布(3)，且取a,b在θ上的先验分布分别为：π(a)=U(1,c)，π(b)=U(0,1)，其中：c为待定参数，则θ的E-Bayes估计为:

(x+1)(x+r+c)[ln(x+r+c)-1]+(x+1)(x+r+1)[ln(x+r+1)-1]-

x(x+r+c-1)[ln(x+r+c-1)-1]-x(x+r)[ln(x+r)-1]}；

(x+1)(x+r+c)[ln(x+r+c)-1]+(x+1)(x+r+1)[ln(x+r+1)-1]-

x(x+r+c-1)[ln(x+r+c-1)-1]-x(x+r)[ln(x+r)-1]}；

3 可靠度的多层Bayes估计

E-Bayes估计是对多层Bayes估计的一种修正，以下给出θ的多层Bayes估计，以便与θ的E-Bayes估计进行比较.

定理3 对负二项分布(1)，在熵损失函数(2)下：

1)若可靠度θ的先验分布为Beta分布(3)，且取a,b在θ上的先验分布分别为π(a)=U(1,c)，π(b)=U(0,1)，其中c为待定参数，则θ的多层Bayes估计为:

2)若可靠度θ的先验分布为幂分布，且取a在θ上的先验分布分别为π(a)=U(1,c)，其中c为待定参数，则θ的多层Bayes估计为:

证明θ的多层先验密度为:

则θ的后验密度为:

从而θ在熵损失函数(2)下的多层Bayes估计为:

4 数值试验

表和δ-的计算结果

5 结束语

本文给出了熵损失函数下，当可靠度的先验分布为Beta分布和幂分布时，负二项分布可靠度θ的Bayes估计、E-Bayes估计及多层Bayes估计.首先，由定理2和定理3中所得结果可见，E-Bayes估计公式不涉及积分，计算更简单；其次，数值试验结果表明，先验分布为幂分布时可靠度的E-Bayes估计和多层Bayes估计相差较小，精度都较高，但E-Bayes估计稳健性更高.因此，E-Bayes估计作为对多层Bayes估计的修正方法，更优越，更便于在实际中应用.

参考文献:

[1]HanMing，DingYuan-yao.SythesizedexpectedBayesianmethodofparametericestimate[J].JournalofSystemsScienceandSystemsEngineering，2004，13(1)：98-111.

[2]韩明.Pascal分布的参数估计[J].纯粹数学与应用数学，2006，22(4)：510-515.

[3]韩明.产品可靠度的E-Bayes估计[J].大学数学，2007，23(3)：83-87.

[4]熊常伟，张德然，张怡，等. 几何分布可靠度的Bayse估计[J].统计与决策，2007，20(2)：21-22.

[5]MingHan.E-Bayesianestimationoffailureprobabilityanditsapplication[J].MathematicalandComputerModeling,2007，45( 9/10 ):1272-1279.

[6]韩明.状态概率的E-Bayes估计与多层Bayes估计[J]. 运筹与管理，2006，15(5)：70-74.

[7]苏清华，刘次华.熵损失下负二项分布可靠度的E-Bayes估计[J].湖北师范学院学报:自然科学版，2009,29(3)：14-17.

[8]韩明.多层先验分布的构造及其应用[J]. 运筹与管理，1997，6(3)：31-40.