连通交错单群的素图刻画

何怀玉

(上海政法学院 经济管理系，上海 201701)

设G是个有限群，若顶点为群G的阶的素因子则称群G是素图；对不同的两个顶点p和q则称群G是素图，若G中含有pq阶元，则称顶点p和q是相连的，即为素图的边.群G的阶|G|的全体素因子的集合记为π(G)；G的所有元素的阶的集合记为ω(G)(也称之为群G的谱).显然，集合ω(G)是关于除法封闭的.有限群G的元素阶的集合ω(G)定义了一个Gruenberg-kegel图GK(G) (也称之为素图)，该图的顶点集合为π(G)；对GK(G)的不同的两个顶点p和q，若G中含有pq阶元，我们就说顶点p和顶点q是相连的，即为GK(G)的边.显然，一旦ω(G)确定，其素图GK(G)也就唯一确定下来了，所以如果ω(G)=ω(L)，则GK(G)=GK(L)，但反之不然.

设H为任意一个和群G的素图一样的有限群，如果H≅G，称群G是可用素图刻画的.设P为有限非交换单群，如果当GK(G)=GK(P)时，群G总含有一个合成因子同构于群P，则称单群P为可用素图拟刻画的.我们注意到，可用元素的阶刻画的群一定可以用素图刻画，但反之不然，所以素图是比元素的阶更弱的条件.

关于有限群的素图结构的研究，人们先后取得了非常完善的研究成果[1-3].但对于利用素图去刻画有限单群这个问题，目前所获得的结论有限，且基本都是针对素图非连通时的单群的[4-6].当素图连通时，还尚难以仅用其素图加以刻画，也未有涉及.本文首次对连通型单群Alt22，尝试仅用素图加以刻画，得到了一般性结果.本文中所涉及到的群皆为有限群，单群皆为非交换单群.

1 主要结果

记ρ(G)为群G的极大孤立点集，ρ(2,G)为群G的包含2的极大孤立点集.t(G)为群G的极大孤立点集所含元素的个数，即极大孤立点数，显然t(G)=|ρ(G)|.记t(2,G)为群G的与2不连的极大孤立点数，则t(2,G)=|ρ(2,G)|.用rn表示qn-1的本原素因子.

(i)S≅Alt7或A1(q)，其中q为某个奇数，且t(S)=t(2,S)=3;

(ii)对任意的p∈π(G)，如果2p∉π(G)，即p和2不连，则G的Sylowp-子群一定和S的Sylowp-子群同构.而且，t(2,S)≥t(2,G).

引理3[8]设G为有限群，K

引理4 设G为交错单群，则：

(i)任取π(G)的两个奇素数r和s，则r与s不相连当且仅当r+s>n；

(ii)任取π(G)的某个奇素数r，则2与r不相连当且仅当r+4>n.

下面利用素图结构，对连通型交错单群Alt22进行素图刻画，得到结论如下：

定理1 设G为有限群，且GK(G)=GK(Alt22)，则存在G的一个极大可解正规子群K，使得G/K≅Alt19,Alt20,Alt21,Alt22,S19,S20，其中19∉π(K).

接下来，针对交换单群S的所有可能进行讨论.

假设S为引理1结论中的第一种情况，即S≅Alt7或A1(q).

假设S=S(q)是李型单群，其中q=pm，其中p为素数，则pi-1,pj+1或q8+q4+1整除|S(q)|.显然，p≠19，否则38∈π(S)⊆π(G)，矛盾.那么19必然整除pi-1,pj+1和q8+q4+1中的某一个.我们知道，当t>18时式pt-1含有一个大于19的本原素因子.于是，根据π(S)⊆π(G)，则有i≤18,j≤9.

如果S≅An(q)，则19|qn-1.当n≤4时，由π(S)⊆π(G)知S≅A2(7),A3(7)或A2(11).根据引理2可知，这些情况均不可能成立.而当n≤18时，由于q19-1必然含有一个大于19的本原素因子，而q19-1||An(q)|，矛盾.因此4

如果S≅B2(q)，则t(S)=2

G/K≅2E6(2),2E6(2)·2,2E6(2)·3或2E6(2)·S3.

而此时由于素因子7和11不在π(K)中，则77∈π(G/S)，这和77∉π(2E6(2))产生了矛盾.因此K=1，进而G≅2E6(2),2E6(2).2,2E6(2).3或2E6(2).S3.同样根据77∈π(G)而77∉π(2E6(2))，可知这是不可能的.即群S非李型单群.

参考文献:

[1]Williams J S.Prime graph components of finite groups [J].J Algebra,1981,69(2):487-513.

[2]Kondratiev A S.On prime graph components for finite simple groups[J].Math USSR Sbornik,1989,180:787-797.

[3]Vasiliev A V,Vdovin E P.An adjacency criterion for the prime graph of a finite simple group[J].Algebra and Logic,2005,44(6):381-406.

[4]Khosravi B.n-recognition by prime graph of the simple group PSL(2,q)[J].Journal of Algebra and Its Applications,2008,7(6):735-748.

[5]Babai A,Khosravi B,Hasani N.Quasirecognition by prime graph of2Dp(3) wherep=2n+1≥5 is a prime[J].Bull Malays Math Sci Soc,2009,32(3):343-350.

[6]Khosravi B,Moghanjoghi A Z.Quasirecognition by prime graph of some alternating groups[J].Int J Contemp Math Sciences,2007,28(2):1351-1358.

[7]Vasiliev A V.On connection between the structure of a finite group and the properties of its prime graph [J].Sib Math J,2005,46(3):396-404.

[8]Mazurov V D.Characterizations of finite groups by sets of their elements orders[J].Algebra and Logic,1997,36(1):23-32.

[9]Lucido M S,Moghaddamfar A R.Groups with complete prime graph connected components[J].J Group Theory,2004,7:373-384.

[10]Conway J H,Curtis R T,Norton S P.et al.Atlas of finite groups[M].Oxford:Clarendon Press,1985.

[11]Guralnick R M,Tiep P H.Finite simple unisingular groups of Lie type[J].J Group Theory,2003,6:271-310.