M-CPFSK信号的定时与频偏联合估算分析

谢春磊,张建立,张海瑛

(中国电子科技集团公司第五十四研究所,河北 石家庄050081)

0 引言

连续相位调制(CPM)信号相位连续,具有良好的频谱特性,其带外辐射小、旁瓣衰落快;此外还具有瞬时包络恒定等优点[1]。所谓CPFSK信号是特指全响应矩形成形的CPM信号。由于CPFSK的同步复杂,尤其是M-CPFSK信号的接收更加困难,所以大大限制了该调制方式的广泛应用。

目前已有的CPFSK信号同步的实现常采用数据辅助或非数据辅助的前馈或反馈结构。根据CPFSK信号的劳伦特分解特性,文献[2]提出了适用于MSK信号类型的相位与定时联合估计,但该方法并不适用于所有M-CPFSK信号。文献[3]中提出的方法也无法很好地解决在高阶情况下同步性能下降的问题。文献[4]中针对调制指数h=1、频偏小于符号速率的50%等前提条件下的正交M-CPFSK,提出了码元定时与频偏联合估计方法。这里在已有联合估计算法的基础上提出了改进算法,通过对调制指数h不为1的非正交M-CPFSK基带采样信号进行幂变换,修正了信号的调制指数,新方法能很好地适用于非正交情况。

1 联合估算原理

1.1 M-CPFSK信号

M-CPFSK基带信号形式为:

式中,φ为载波初始相位;φ(t,α)表示相位调制过程,可表示为:

式中,h为调制指数;{αk,k=0,1,…,n-1}为M进制的符号序列,取值范围是{±1,±3,…,±(M-1)};q(t)为归一化相位成形脉冲,满足以下条件:

将式(3)代入式(2),可推导得:

s(t)通过加性高斯白噪声信道传输后接收到的信号复包络可表示为:

式中,Δf为载波频偏,其主要由多普勒频移、收发两端载波偏差引入;εT为定时偏差;z(t)为接收端噪声。

假设采样周期为Ts=T/N,N为过采样倍数,则第n个码元的第i个采样点可表示为:

1.2 正交信号联合估算

对于正交M-CPFSK信号,其调制指数h=1。如式(6)所示的采样信号,取采样序列中r(m+n,i),其中,n=0,1,…,L-1,当iTs-εT≥0 时,对式(6)乘以(-1)n可得:

式中,{αk,k=0,1,…,m+n-1}所决定的指数项因子交替取±1,与(-1)n相乘,仅取+1或-1;再考虑exp[j2πΔf(mT+iTs)+jφ]为固定值,二者可合并为exp(jψ),从而式(7)又可化简为:

式中,λ=ΔfT,为归一化频偏。

假设 ε∈(-1/2,1/2),λ∈(-1/2,1/2),由式(8)可见,当i/N-ε=0或1时,其即为离散单音信号与高斯白噪声的叠加。对{˜r(m+n,i),n=0,1,…,L-1}进行傅里叶变换,则

式中,ν∈(-1/2,1/2)。当式(9)满足 ν=λ且i/N-ε=0或1时,则存在一个很高的谱峰;而不满足上述条件时,由于 αn的随机性,|Y(ν,i)|的幅度将会变得相对平坦。对不同的i(i=0,1,…,N-1)值进行傅里叶变换,从中寻找出最大谱峰所对应的(ν,i),即可计算出其所对应的定时误差^ε和频偏值Δ^f。其分别为:

以上推导是在iTs-εT≥0的前提下进行的。由分析可知,iTs的取值范围为[0,(N-1)T/N],而εT的取值范围为(-T/2,T/2)。对于iTs-εT＜0的情况,式(7)中,k的最大值及指数 exp[jπαm+n◦(i/N-ε)]均将相应有所变化,但仍可以进行类似的推导,得出同样的结论。

1.3 非正交信号联合估算

对于非正交M-CPFSK信号,其调制指数h不为1,假设h=p/J,其中p、J为互质整数。首先对式(6)进行J次方处理(为简化分析,暂不考虑噪声的影响),这等效于修正了信号的调制指数,从而满足信号正交的要求,因此可以按照正交M-CPFSK信号的处理步骤进行操作。但此时,式(8)中 λ=JΔfT,其余各符号与正交信号类似。

同理,仍可采用傅里叶变换通过谱峰搜索,进行码元定时和频偏联合估计。但此时由于λ=JΔfT,频偏的估计范围变为(-1/(2JT),1/(2JT))。

2 算法实现

在式(9)的计算过程中,如果对所有可能的ν值均进行运算,显然会大大增加计算量。因此,为了减小计算量又能保证一定的精度,进行离散傅里叶变换(DFT)时,仅对一些离散频偏点进行计算,其信号流程图如图1所示。

图1 信号处理流程

在实际计算中,每码元的采样倍数为N,则可以得到N组{r(m+n,i),n=0,1,…,L-1}(每组的i值是不同的)。满足式(9)中|Y(ν,i)|的幅度最大的只有一组,其对应的时偏值^ε最接近真实时偏ε。首先,可以从不同i对应的N组序列中,等间隔取出对应序列,则按照上述方法可以粗略地估计出时偏位置;然后,用该序列及其相邻的序列再次进行谱峰搜索,从而取得更加精确的时偏估计值。这样,离真实时偏值较远的i值所对应的序列便没有参与运算,从而降低了运算量。

例如对于过采样倍数N=20的情况,第1步进行粗略估计时,可以取{i=0,3,6,…,18}共7组序列,假设估计结果为i=6;第2步进行精确估计时,仅取{i=4,5,6,7,8}共5组序列,进行谱峰搜索。这样,仅计算了11组序列(i=6对应的序列在第2步中不需计算),降低了计算量。

3 性能仿真分析

3.1 1/h为整数仿真分析

设调制阶数M=8,过采样倍数N=20,算法估计中所用的码元长度L=64,频偏、定时误差随机均匀分布,其具体范围如上所述,调制指数h分别为1、0.5和0.25时,对上述算法性能进行仿真分析(频偏估计所用的离散点数为 256),其归一化均方根误差(RMSE)曲线如图2和图3所示。

图2 归一化频偏估计RMSE曲线

图3 归一化定时估计RMSE曲线

由图中可以看出,随着h的减小,需要进行的幂次J增大,加速了信噪比的恶化,因此相同的信噪比下RMSE变大;但随着信噪比的进一步增大,RMSE会稳定在某一个固定值。

对于频偏RMSE来说,信号生成中所用的实际频偏Δf均匀分布在估计范围之内;而算法估计的结果却是离散量,当信噪比达到一定数值后,估计结果总是最接近实际频偏值的离散量,这样产生的频偏估计误差均匀分布在区间[-fT/2,fT/2]上(fT为频偏搜索间隔,由频偏分布范围和频偏估计离散点数决定),从而可得其RMSE的极限值为:

调制指数h越小,频偏分布范围越小,而频偏估计点数不变,由图2显而易见,h越小其对应的RMSE极限值越小。

同理,可得定时估计RMSE为:

3.2 1/h不为整数仿真分析

当h=p/J,其中p不为 1时,式(8)中由码元决定的指数项变为exp[jpπαm+n(i/N-ε)]。这样,当p(i/N-ε)为整数时,均能使得该指数项为固定值,从而消除码元变换带来的影响,于是便产生了模糊值。例如,调制指数h=3/4、过采样倍数N=20、实际归一化时偏ε=1/8时,i=2,9,16使得p(i/N-ε)到最近整数的距离一样,理论上它们对应的最高谱峰幅度是一致的,但由于噪声的影响,可能使得i=9或16对应的谱峰幅度高于最佳估计值i=2所对应的谱峰幅度。这就发生了误判,但这种误判又是有一定规律的,因此是模糊判决。

进行解模糊处理,首先根据估计所得的频偏值纠正频偏对信号产生的影响,然后根据时偏估计结果计算出对应的模糊时偏值,按照这些时偏值对一个码元内的采样信号进行离散傅里叶变换(DFT)。CPFSK信号在一个码元内的信号频率是单一的,因此真实时偏值对应的谱峰幅度是最大的,从而可以估计出信号的真实时偏值。

4 结束语

针对M-CPFSK信号的同步问题,将适用于正交信号的定时与频偏联合估计算法推广到了非正交信号,理论分析和试验仿真均验证了其有效性和可行性。该方法适用于信号接收初始捕获阶段,为了达到更精确的同步效果,还需要后续锁相环的处理。同时,对于1/h不为整数的信号,其估计值还需要进行后续的解模糊处理,增加了算法的复杂度,因此下一步有必要探索更加简便的联合估计算法。

[1]PROAKIS J G.Digital Communications(4thEd)[M].New York:McGraw-Hill,2005.

[2]MORELLI M,VITETTA G M.Joint Phaseand Timing Synchronization AlgorithmsforMSK-type Signals[C].Proceeding of Mini-Conference of Communication Theory,1999:146-150.

[3]MEHLAN R,CHEN Y E,MEYRH.AFullyDigital Feedforward MSK Demodulator with Joint Frequency Offset and Symbol Timing Estimation for Burst Mode Mobile Radio[J].IEEE Trans.Vehicular Technology,1993,42(4):434-443.

[4]CAIRE G,ELIA C.A New Symbol Timing and Carrier FrequencyOffsetEstimation Algorithm forNoncoherent Orthogonal M-CPFSK[J].IEEE Trans.Communications,1997,45(10):1314-1326.

[5]赖文强,赵建业.一种面向DSP实现的GMSK位同步算法[J].无线电工程,2004,34(2):12-14.