三维坐标转换中高程误差对转换精度的影响

吴清波,向为,刘文祥,孙广富

摘 要：以Bursa-Wolf坐标转换模型和参数求解方法为基础，根据误差传播理论，推导出测区内任意待转换点三维坐标转换精度数学公式。通过对该数学模型的分析可得：公共点所在测区内待测点的转换精度随高程变化呈抛物线分布。当高程在(-100 m,1 000 m)区间变化时，转换精度在10-2量级浮动,对坐标转换的影响很小。最后通过算例验证了结论的正确性。

关键词：七参数转换； 坐标转换； 高程误差； 转换精度； 坐标系

中图分类号：TN911-34

文献标识码：A

文章编号：1004-373X(2011)09-0186-04

Effect of Elevation Error on Accuracy in 3-D Coordinate Transformation

WU Qing-bo,XIANG Wei,LIU Wen-xiang,SUN Guang-fu

(Electronic Science & Engineering College,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Abstract： Based on Bursa-Wolf coordinate transformation model and parameter solving methods,a mathematical model for the 3-D accuracy of coordinate conversion for arbitrary measured point in the surveying area is derive with the theory of error propagation. According to the analysis of the mathematical model,it can be concluded that the variation of conversion accuracy of measured point presents a parabola distribution with the change of altitude. Meanwhile,when the variation of altitude is in the scope of -100~1 000 m,the conversion accuracy is about 10-2 m,which has a trivial effect on the coordinate transformation. The theoretical validity of the conclusions was proved by experiment.

Keywords： seven-parameter transformation; coordinate transformation; vertical error; transformation accuracy; geodetic coordinate system

0 引 言

目前，全球定位系统GPS在我国的应用日益广泛，GPS采用的是以ITRF标准为框架的地心坐标系WGS84，是一种以地球整体拟合最佳为标准得到的椭球。我国地图广泛采用高斯-格吕克投影的北京54坐标系，参考椭球是克拉索夫斯基椭球，它是一种使得我国本土的拟合最佳的椭球标准［1］。因此，将GPS的定位结果转化到我国实用坐标系的问题越来越明显。

在国家或地方坐标系中,大地高程(H)通常为正常高(h)与高程异常(ζ)之和，目前在我国高程异常的精度一般为米级［2］。由于大地高并不直接已知,而利用正常高和高程异常求得的大地高程精度将由于高程异常误差的影响而降低。以此作为待转换点坐标必然会引起转换后的坐标精度降低。

1 Bursa-Wolf坐标转换模型［3-4］

假设两个基准坐标系分别为OA-XAYAZA和OB-XBYBZB，它们之间的转换涉及到七个参数ΔX,ΔY,ΔZ,`A,`B,`C，m。其中，ΔX,ΔY,ΔZ表示两个坐标系原点之间的平移量;m为比例因子，表示两个坐标系中单位长度的比例修正量；`A,`B,`C表示坐标轴之间的旋转角度。`A具体意义为从XA正向看向原点OA，以OA点为固定旋转点，将OA-XAYAZA绕XA轴逆时针旋转`A角，使经过旋转后的YA轴与OB-XBYB平面平行，由此产生的坐标变换的旋转矩阵如下：

RA=100

0cos `Asin `A

0－sin `Acos `A

其余两个旋转参数可以类推产生。由上面七个参数可以得到转换模型如下：

XBYBZB=ΔXΔYΔZ+(1+m)RARBRCXAYAZA

(1)

将RA,RB,RC代入，并注意到`A,`B,`C均为微小量,得到:

XBYBZB=ΔXΔYΔZ+(1+m)1`Z－`Y

－`Z1`X

`Y－`X1XAYAZA

(2)

进一步化简为:

XBYBZB=XAYAZA+1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZAΔXΔYΔZ`X`Y`Zm

(3)

2 转换参数求解方法［5-7］

令XAB=XA－XB,YAB=YA－YB,ZAB=ZA－ZB，认为XAB,YAB,ZAB是含有随机误差的观测值，将转换参数［ΔXΔYΔZ`X`Y`Zm］视为未知数，根据Bursa-Wolf模型方程得到误差方程:

VXVYVZ=XABYABZAB+

1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZAΔX

ΔYΔZ`X`Y`Zm

(4)

将三个或三个以上公共点的误差方程联立，以最小二乘原则求解就可以得到七个参数。为描述方便，把转换参数求解的方程改写为：

VXVYVZ…=XABYABZAB…+

1000－ZAYAXA010ZA0－XAYA001－YAXA0ZA…………………ΔXΔYΔZ`X`Y`Zm

(5)

记为:l=HX+V。式中:

l=－XAB

YAB

ZAB

…，

H=

1000－ZAYAXA

010ZA0－XAYA

001－YAXA0ZA

…………………，

X=ΔX

ΔY

ΔZ

`X

`Y

`Z

m，

V=－VXVYVZ…

得到转换参数的最小二乘解为:

X=(H琓MH)－1H琓Ml

(6)

式中:M为加权矩阵，为所有公共点坐标测量误差的协方差矩阵的逆。若各公共点各轴向测量精度独立，则:

M=1/σ21X1/σ21Y1/σ21Z

…

(7)

3 坐标转换精度分析［8-10］

根据式(6)得出转换参数协方差矩阵为:

C=(H琓MH)－1=

daadabdacdaddaedafdag

dbadbbdbcdbddbedbfdbg

dcadcbdccdcddcedcfdcg

ddaddbddcdddddeddfddg

deadebdecdeddeedefdeg

dfadfbdfcdfddfedffdfg

dgadgbdgcdgddgedgfdgg

(8)

对区域内待测点P的坐标转换过程为:lP=HPX。利用转换参数误差和式(6)，推导出P点的坐标转换协方差矩阵为:

WP=E(Δ lPΔ l琓P)=HPE(ΔXΔX琓)H琓P=HPCH琓P=HP(H琓MH)-1H琓P

=

1000-ZPYPXP

010ZP0-XPYP

001-YPXP0ZP

daadabdacdaddaedafdag

dbadbbdbcdbddbedbfdbg

dcadcbdccdcddcedcfdcg

ddaddbddcdddddeddfddg

deadebdecdeddeedefdeg

dfadfbdfcdfddfedffdfg

dgadgbdgcdgddgedgfdgg

100

010

001

0ZP-YP

-ZP0XP

YP-XP0

XPYPZP

=

S11S12S13

S21S22S23

S31S32S33

(9)

即：P点三维转换误差与公共点的测量精度及其分布的关系为:

ΔLP=S11+S22+S33

(10)

式中:S=HP(H琓MH)－1H琓P;Sii为矩阵S的第i行、第i列元素。公共点位置及其分布决定了矩阵H，公共点测量精度决定了矩阵M。待转换点位置决定矩阵HP。

当P点经、纬度坐标固定时(即视其为常量)，转换精度同高程的关系为：

ΔLP=［(ddd+dee+dgg)Z2P+2(dbd+dcg－dae－XPddf－YPdef)ZP+(dee+dff+dgg)X2P+

(ddddggdff)Y2P+2(dag－dbf+dee)XP+(daf+dbg－dcd)YP－2XPYPded+daa+dbb+dcc］1/2

(11)

进一步简化为：

ΔLP=(aZ2P+bZP+c)1/2

(12)

由式(12)可见，P点转换精度是关于高程变化的抛物线。

4 算例验证

从Google Earth上选取湖南省长沙市市区任意三点作为公共点(假设其坐标值是精确的)，并在公共点所在测区建立密度为3.3 km×3.3 km的网格。利用公共点求得转换参数，并对网格内的点进行坐标转换，根据式(6),式(9)，式(10)求出各点转换精度。公共点在WGS84坐标系下的坐标及其精度如表1所示。

表1 公共点数据

点号

WGS84坐标系下的公共点坐标坐标精度

X/mY/mZ/mmX/mmY/mmZ/m

G1-2 188 769.604 9285 183 546.215 0162 993 601.082 4081.631.631.63

G2-2 197 080.243 5555 176 951.981 6372 998 761.236 1791.371.371.37

G3-2 204 245.155 8895 177 131.713 0032 993 212.382 9241.561.561.56

高程变化区间为(-100 m，1 000 m)，待测点转换精度的最大、最小值和变化幅度情况如表2所示。

其中，1,2,3,4号点的高程对转换精度影响的仿真结果如图1~图4所示。由图可知，转换精度随高程变化呈抛物线分布，同理论推导结果相符。

表2 待测点转换精度结果

点号最大值/m最小值/m差值/m量级/m

11.029 7411.006 3450.023 9610-2

22.827 4912.819 3620.008 12310-3

32.635 2282.626 3040.008 92410-3

42.529 2332.519 7360.009 49710-3

52.435 4512.425 2760.010 17510-2

62.594 2832.584 5870.009 69610-3

72.791 6262.782 4870.009 13910-3

82.297 3482.287 4120.009 93610-3

92.015 2162.003 6380.011 57810-2

101.838 6401.825 6990.012 94110-2

根据表2结果可以看出，当待测点高程在(-100 m,1 000 m)区间变化时，转换精度变化幅度为10-2量级，对待测点坐标转换精度影响较小，即转换后的坐标值可以认为基本不变。

图1 1号点高程变化对转换影响

图2 2号点高程变化对转换影响

图3 3号点高程变化对转换影响

5 结 语

本文根据误差传播模型，推导出转换参数求解误差同公共点的测量精度与分布的数学模型，及测区内任意点的三维坐标转换精度公式。通过对该数学模型的分析可得：在公共点所在测区内待测点的转换精度随高程变化呈抛物线分布。当高程在(-100 m,1 000 m)区间变化时，转换精度在10-2量级浮动，对坐标转换的影响很小。在实际问题中,由于我国平面坐标系统与高程系统分离,大多数情况下,平面坐标的点上没有精确的大地高,很多连水准高程都没有,只有米级精度的近似高程,地方坐标系的精确大地高更是难以获得。在这种情况下，只要保证公共点坐标的精度，待测点的高程即使存在一定的误差也可以保证转换结果具有较高的精度。在工程上，特别是从国家或地方坐标向WGS84坐标转换时，该结论具有较大的实用意义。

图4 4号点高程变化对转换影响

参考文献

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