一类随机微分方程的轨道唯一性*

赵辉艳

(中山大学数学与计算科学学院，广东 广州510275)

考察方程

(1)

其中σ:Rd→Rd⊗Rm和b:Rd→Rd为连续函数，W为布朗运动。众所周知，如果σ和b满足Lipschitz条件或者满足局部Lipschitz条件和线性增长条件，则方程(1)具有唯一的强解[1-2]。之后，Watanabe等[3]在方程为一维的情况下在更弱的条件下得到方程解的轨道唯一性的，即方程系数满足一定意义下最弱的Hölder连续性。最近，在方程的系数σ为常数或b=0的情形下，方程在更弱的条件下具有解的存在唯一性得到了讨论。当方程的系数均非常数时，文献[4]中给出了一个解的存在唯一性的充分条件，之后[5]中又做了稍许的推广。

另一方面，根据Airault-Ren[6]和Malliavin[7]的工作，研究中将会碰到如下的非Lipschitz系数的无穷维布朗运动驱动的随机微分方程

(2)

文献[8]研究了这类的方程在一般非Lipschitz系数下的解的存在唯一性。之后，在文献[9]中，把文献[8]的存在唯一性结果推广到系数更为一般的情形，即

|σ(x)-σ(y)|≤ρ(|x-y|)，

|b(x)-b(y)|≤γ(|x-y|)

受到了文献[10]的启发，在这篇文章中，我们同样考察方程(2)，我们的主要任务是减弱γ的限制，即在某种意义下，把上述的条件中γ的凹性去掉。

1 基本记号及假设条件

假设σi(x)，i=1,2,…和b(x)为R→R的可测函数。考虑下述的随机微分方程

(3)

其中Wi,i=1,2,…为一串独立的标准的布朗运动序列。记

σ(x)=(σ1(x),σ2(x),…)，

另外假设对所有的x∈R，有σ(x)∈l2。

我们将不加证明地陈述几个无穷维布朗运动的随机微分方程的性质，若需要证明，请查看文献[8-9]。

引理1 假设(Ft)为由布朗运动Wi(i=1,2,…)生成的自然流。假设Hi(i=1,2,…)为一串Ft可测适应过程。如果对所有的t≥0，有

为连续的L2鞅。如果对所有的t≥0，有

那么M为连续的局部鞅。如果Gi(i=1,2,…)为一族Ft可测适应过程，且

则M和N的交互变差过程为

我们有下述的Yamada-Watanabe定理。

定理1 方程(3)有唯一强解当且仅当存在弱解和轨道唯一性。

若需要了解更多的关于方程(3)的强解和弱解，请参看文献[9]。我们还有如下结果[9]。

命题1 方程(3)存在一弱解如果σ和b为有界连续函数。

2 主要结果

定理2 假设γ∈C1((0,1])为严格正的函数并且满足

(4)

并且对任意的a>0，满足

对|x-y|<1，假设

|b(x)-b(y)|≤c|x-y|γ(|x-y|)

我们假设严格正函数ρ满足

(5)

另外假设，对所有的x,y∈R，有

|σ(x)-σ(y)|≤ρ(|x-y|)

则方程(1)具有轨道唯一性。

假设

事实上，在(4)式中，以Nγ代替γ，对足够大的N>0。那么就有

(6)

令

和

Φδ(s):=exp(φδ(s)),δ>0,s∈(0,1]

则有

假设Xt，Yt为方程(1)的两个强解。则有

令τ=inf{t>0,|Zt|≥ε}，则有

对上式两边同时取期望，得到

gk″(Zs)(σi(Xs)-σi(Ys))2ds)≤1 +

E(Φδ(|Zt∧τ|))≤1 +

根据Gronwall不等式，对每一个δ>0，可以得到

E(Φδ(|Zt∧τ|))≤exp(ct)

令δ→0，则对每一个给定的t，有

|Zt∧τ|=0a.s.

如果有P(τ<+∞)>0，则对某个T足够大，就会有P(τ0。根据上式，几乎处处对所有的t∈Q∩[0,T]，有|Zt∧τ|=0。因此在集合{τ≤T}上，有 |Zτ|=0，这就与τ的定义矛盾。因此几乎处处有τ=+∞并且对任意给定的t，几乎处处有|Zt|=0。根据的轨道的连续性，命题得证。

根据命题1，我们有下面的推论。

推论1 假设σ和b为有界连续函数并且满足上述定理的条件。则方程 (3) 具有唯一强解。

参考文献：

[1]黄志远.随机分析学基础[M].2版.北京：科学出版社，2001.

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[5]WANG F Y, WANG J M.Finite and infinite dimensional stochastic differential equations with non-Lipschitzian coefficients [J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics, 2009, 25 (2): 126-134.

[6]AIRAULT H, REN J G.Modulus of continuity of the canonic Brownian motion “on the group of diffeomorphisms of the circle” [J].J Funct Anal, 2002,196 (2): 395-426.

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[9]HE K, ZHANG X C.One dimensional stochastic differential equations with distributional drifts [J].Acta Math Appl Sin Engl Ser, 2007, 23 (3): 501-512.

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