一类无搅拌Chemostat模型平衡态正解存在性与数值模拟*

姜洪领 ，王利娟

(1.陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062;2.宝鸡文理学院数学系，陕西 宝鸡 721016 )

Chemostat模型又称恒化器模型，它是一个自然生态模型，对恒化器的研究以及各种推广是目前非常活跃的课题，研究者对模型进行各种合理的改进和推广以使其能更加逼真地描述自然现象。Butler和Wolkowicz[1]于1986年在生物数学学报上给出下列模型

v′=v(m2f2(S)-θ),

w′=w(m3f3(u)-θ)

St=Sxx-m1f1(S,u)u-m2f2(S,v)v,

ut=uxx+m1f1(S,u)-m3f3(u,w)w,

vt=vxx+m2f2(S,v),

(1)

wt=wxx+m3f3(u,w)

B-D功能函数的推导见文献[2-3]。涉及使用B-D功能函数研究的部分文献可见[4-6]。对式(1)的平衡态系统，令z(x)=S(x)+u(x)+v(x)+w(x)，则z(x)满足

zxx=0,x∈(0,1),

zx(0)=-1,zx(1)+γz(1)=0

(2)

显然式(2)有唯一解z(x)>0。因此方程组(1)可等价与下列方程组

uxx+m1uf1(z-u-v-w,u)-m3wf3(u,w)=0,

vxx+m2fv2(z-u-v-w,v)=0,

wxx+m3wf3(u,w)=0,

ux(0)=0,ux(1)+γu(1)=0;

vx(0)=0,vx(1)+γv(1)=0;

wx(0)=0,wx(1)+γw(1)=0

(3)

1 主要引理

-Δφ+q(x)φ=λφ,x∈Ω,Bφ=0,x∈∂Ω

则λ[-Δ+q(x)]关于q(x)连续且具有单调性:当q1(x)≤q2时，λ[-Δ+q(x)]≤λ[-Δ+q2(x)]；特别地，如果q1(x)≢q2(x)，则λ[-Δ+q1(x)]<λ[-Δ+q2(x)]。

-Δφ+Pφ=ξ(a(x)+P)φ,

x∈Ω,Bφ=0,x∈∂Ω

(4)

没有小于1的特征值；反之若λ[-Δ-a(x)]<0则式(4)有小于1的特征值。

引理3[7-8]设W是Banach空间E的一个锥，θ是E中的零元。设F:W→W是紧的，连续可微算子且θ∈W是F的不动点，A=F′(θ)表示F在θ处的Fréchet导数。进而假设W-W在E中稠密，则有以下结论

(i)如果特征值问题Ah=λh,h∈W不以1为特征值，则θ是F的孤立不动点。

(ii)如果上述特征值问题没有大于1的特征值，则indexW(F,θ)=1。

(iii)如果上述特征值问题有大于1的特征值，则indexW(F,θ)=0。

考察边值问题

-Δu=f(x,u),x∈Ω,Bu=0,x∈∂Ω

(5)

-Δv+μPv=μ[f(x,u)+Pu],

x∈Ω,Bφ=0,x∈∂Ω

(6)

其中u∈E,μ∈[0,1]，P是一个适当大的正常数，定义算子Tμ:[0,1]×E→E，Tμ(u)=v,T=T1，则Tμ是紧的，且易知u是式(5)的古典解当且仅当u是式(6)的不动点。特别的当m=3,u=(u1,u2,u3)，f=(f1,f2,f3)时，有下面的结论。

(i) 边值问题

只有零解；

(ii) 特征值问题

φ,ψ∈K0

有特征值λ∈(0,1);则indexW(T,y1)=0。

2 半平凡解存在性

uxx+m1uf1(z-u,u)=0,x∈(0,1),

ux=0,ux(1)+γu(1)=0

(7)

vxx+m2vf2(z-v,v)=0,x∈(0,1),vx=0,

vx(1)+γv(1)=0

(8)

定理1 设u是式(7)的非负解且u≢0，则0

φxx+λφf1(z,0)=0,x∈(0,1),

φx(0)=0,φx(1)+γφ(1)=0;

ψxx+μψf2(z,0)=0,x∈(0,1),

ψx(0)=0,ψx(1)+γψ(1)=0

uxx+m1uf1(z-u-v,u)=0,x∈(0,1),

ux(0)=0,ux(1)+γu(1)=0;

vxx+m2vf2(z-u-v,v)=0,x∈(0,1),

vx(0)=0,vx(1)+γv(1)=0

(9)

uxx+m1uf1(z-u-w,u)-m3f3(u,w)=0,

wxx+m3wf3(u,w)=0,

ux(0)=0,ux(1)+γu(1)=0;

wx(0)=0,wx(1)+γw(1)=0

(10)

(11)

(12)

φx(0)=0,φx(1)+γφ(1)=0

(13)

定理5 若(u,v,w)是式(3)的正解，则m1≥λ1,m2≥μ1,m3≥η1。

3 正解存在性

引入式(3)的辅助问题

-uxx+μMu=μ[M+m1f1(z-u-v-w,u)]

u-m3wf3(u,w),

-vxx+μMv=μ[M+m2f2(z-u-v-w,v)]v,

-wxx+μMw=μ[M+m3f3(u,w)]w

(14)

其中边界条件与式(3)一致。μ∈[0,1]，M是个充分大的正数且使得Mui+fi≥0，则对已知的(u,v,w)∈E，下列线性问题

-Uxx+μMU=μ[M+m1f1(z-u-v-w,u)]·

u-m3wf3(u,w),

-Vxx+μMV=μ[M+m2f2(z-u-v-w,v)]v,

-Wxx+μMW=μ[M+m3f3(u,w)]w

(15)

有唯一解。

命题1 (i) 若m1>λ1,m2≠μ1或m1≠λ1,m2>μ1，则indexW(F,θ)=0；

(ii)若m1<λ1且m2<μ1，则indexW(F,θ)=1。

(16)

考虑辅助问题

-φxx-m1f1(z,0)φ=ξφ;φx(0)=0,

φx(1)+γφ(1)=0

命题2 degW(I-F,D,θ)=1。

证明由拓扑度的同伦不变性有

degW(I-F,D,θ)=degW(I-Fμ,D,θ),μ∈[0,1]

当μ→0时，Fμ在W上只有θ这个不动点，根据Leray-schauder度的定义知degW(I-Fμ,D,θ)=indexW(Fμ,θ)，且此时可使得μm1<λ1,μm2<μ1，再重复命题 1的证明可得indexW(F,θ)=1，从而有degW(I-F,D,θ)=1。

为了书写方便，我们引进记号G=(g1,g2,g3)，DG为G的线性化算子

g1=m1uf1(z-u-v-w,u)-m3wf3(u,w),

g2=m2vf2(z-u-v-w,v),

g3=m3wf3(u,w)

1) 考察边值问题

(17)

则该问题等价于

矛盾。同理对第三个方程也只有零解，于是得

2)考察特征问题

(18)

化简得下列方程组

(v,w)∈K0×K0

同理可证命题4。

D1={(u,v)∈P1|u>0,v>0,u,v∈D}，

D2={u∈P2|u>0,u∈D},

D2(ε)={u∈D2|uE2<ε,∀ε>0}

其中P1=K0×K0,P2=K0,W=P1⊕P2。依引理5来证明。由F的定义，令

F1(u,v,w)=K[Mu+m1uf1(z-u-v-w,u)

-m3wf3(u,w),

Mv+m2vf2(z-u-v-w,v)],

F2(u,v,w)=K[Mw+m3wf3(u,w)]

(19)

同理可证命题6。

定理6 当m1>a1,m2>a2,m3>a3时，系统(3)存在正解(u,v,w)。

4 数值模拟分析

本节用MATLAB软件工具箱中的bvp4c算法模拟2-3节所给出的结论。区间采用等分法，计算[0,1]中等分节点处u,v,w的值。取α1=1,α2=1.5,α3=0.5,β1=0.7,β2=0.3,β3=0.6,γ=1，模拟结果如图1(a)-(e)。

图1(a)显示v,w消亡，u生存，其中m1=3,m2=1.5,m3=2；图1(b)显示u,w消亡，v生存，其中m1=1.8,m2=1.9,m3=2；图1(c)显示v消亡，u,w生存，其中m1=2,m2=1.7,m3=3.2；图1(d)显示w消亡，u,v生存，其中m1=1.8,m2=2,m3=0.1；图1(e)显示u,v,w生存，其中m1=3,m2=2,m3=2.6。此外在数值模拟的过程中，还发现u,v有周期共存现象，有待进一步研究。

参考文献：

[1]BUTLER G J, WOLKOWICZ G S K.Predator-mediated competition in the Chemostat [J].J Math Biol, 1986, 24: 167-191.

[2]BEDDINGTON J R.Mutual interference between parasites or predators and its effect on searching efficiency [J].Animal Ecol, 1975, 44: 331-340.

[3]RUXTON G, GURNEY W S C, DEROOS A.Interference and generation cycles [J].Theoret Population Biol, 1992, 42: 235-253.

[4]CANTRELL R S, CONSER C.On the dynamics of predator-prey models with the Beddington- DeAnglis functional response [J].J Math Anal Appl, 2001, 257: 206-222.

[5]CANTRELL R S, CONSER C.Practical persistence in ecological models via comparision methods [J].Proc Roy Soc Edinburgh Sect, 1996, 126(A): 247-272.

[6]CANTRELL R S, CONSER C.Practical persistence in diffusive food chain models [J].Nat Res Modelling, 1998,11: 21-34.

[7]王明新.非线性抛物型方程 [M].北京：科学出版社, 1993.

[8]ZHENG S N, LIU J.Coexistence solutions for a reaction-diffusion system of un-stirred Chemostat model [J].Appl Math Comp, 2003, 145: 579-590.

[9]DANCER E N.On positive solutions of some pairs of differential equations [J].Trans Am Math Soc, 1984, 284: 729-743.

[10]DANCER E N.Positive solutions for a three-species competition system with diffusion-1 general existence results [J].Nonlinear Anal, 1995, 254: 337-357.

[11]王艳娥，吴建华.一类Chemostat 模型正平衡解的存在性和稳定性[J].陕西师范大学学报, 2006, 34(2):9-12.

[12]WU J H, WOLKOWICZ G S K.A system of resource-based growth models with two resources in the unstirred Chemostat [J].J Differential Equations, 2001, 172: 330-332.

[13]李海侠.一类非均匀搅拌Chemostat模型解的性质[D].西安：陕西师范大学, 2006.