三次Ball曲线的两种新扩展

严兰兰1，梁炯丰2，饶智勇1



三次Ball曲线的两种新扩展

严兰兰，梁炯丰，饶智勇

（1. 东华理工大学数学与信息科学学院，江西抚州344000； 2. 东华理工大学土木与环境工程学院，江西抚州344000）

给出了次数分别为3和4的含参数的多项式基，它们都是三次Ball曲线基函数的扩展。基于这两组基函数定义了两类带形状参数的多项式曲线，新曲线不仅具有三次Ball曲线的特征，而且具有形状可调性和比三次Ball曲线更好的逼近性。通过分析新曲线与Bézier曲线之间的关系，得出了形状参数的几何意义，并给出了新曲线的几何作图法。

计算机应用；曲线设计；Ball曲线；形状参数

自1974年英国数学家Ball在著名的CONSURF机身曲面造型中提出一种有理三次参数曲线以来，广义Ball曲线曲面的研究工作大量展开，其中以Wang-Ball和Said-Ball曲线曲面为主。2000年邬弘毅提出了两类新的广义Ball曲线，第一类介于Wang-Ball和Said-Ball曲线之间，第二类介于Bézier曲线和Said-Ball曲线之间。2003年Delgado和Pena为保形定义了DP-Ball基。在实践中人们发现，Ball曲线曲面类似于Bézier曲线曲面，也具有良好的保形性质，并且在求值及升降阶的计算速度上优于同次的Bézier曲线曲面。因此，在外形设计中，Ball曲线曲面越来越受到重视。

1 第一类曲线

1.1 曲线的构造及性质

（4）几何不变性与仿射不变性。

1.2 形状参数的几何意义

（4）

若令

（6）

1.3 形状参数对曲线形状的影响

图1 形状参数的几何意义

图2 取不同值时的曲线

1.4 曲线的几何作图法

图3 曲线的几何作图法

2 第二类曲线

2.1 曲线的构造及性质

（1）端点性质

。

（2）凸包性。

（3）对称性。

（4）几何不变性与仿射不变性。

2.2 形状参数的几何意义

（10）

2.3 形状参数对曲线形状的影响

图4 形状参数和的几何意义

图5 取不同参数值时的曲线

2.4 曲线的几何作图法

图6 曲线的几何作图法

3 结束语

这里给出的两种曲线生成方法，第一种以三次Ball曲线和三次Bézier曲线为特例；第二种以三次Ball曲线为特例。由于带有形状参数，所以这两种曲线可以在不改变控制多边形的情况下，通过改变形状参数的值来对曲线的形状进行调整。从逼近的角度看，这两种曲线都比三次Ball曲线具有更好的对控制多边形的逼近性，而且第二种曲线又比第一种曲线的逼近性更好。另外，由于这两种曲线中的形状参数都具有明确的几何意义，因此能够方便地选择其值来设计满意的形状。而且这两种曲线都可以由同次的Bézier曲线来表示，所以借助Bézier曲线的几何作图法，可以方便、快捷地确定出这两种曲线上的点。

待续的工作是寻找三次Ball曲线的其他扩展方式，以及高次Ball曲线的扩展，这些将另文讨论。

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[2] Ball A A. CONSURF, Part 2: Description of the algorithms [J]. Computer Aided Design, 1975, 7(4): 237−242.

[3] Ball A A. CONSURF, Part 3: How the program is used [J]. Computer Aided Design, 1977, 9(1): 9−12.

[4] 王国瑾. 高次Ball曲线及其几何性质[J]. 高校应用数学学报, 1987, 2(1): 126−140.

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[7] Delgado J, Pena J M. A shape preserving representation with an evaluation algorithm of linear complexity [J]. Computer Aided Geometric Design, 2003, 20(1): 1−10.

[8] 王成伟. 三次Ball曲线的扩展[J]. 工程图学学报, 2008, 29(1): 77-81.

[9] 吴晓勤, 韩旭里, 罗善明. 四次Bézier曲线的两种不同扩展[J]. 工程图学学报, 2006, 27(5): 59-64.

Two New Extensions of Cubic Ball Curve

YAN Lan-lan, LIANG Jiong-feng, RAO Zhi-yong

( 1. College of Mathematics and Information Science, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China;2. College of Civil and Environmental Engineering, East China Institute of Technology, Fuzhou Jiangxi 344000, China )

Two classes of polynomial basis of 3and 4degree are presented. They are extensions of cubic Ball basis. Based on these two bases, two polynomial curves with shape parameters are defined. They not only inherit the outstanding properties of the cubic Ball curve, but also are adjustable in shape and fit closer to the control polygon than the cubic Ball curve. The geometrical meaning of shape parameters is discovered by analyzing the connection of the new curves and the Bézier curve. Meanwhile, the geometrical drawing method of the extension curves is given out.

computer application; curve design; Ball curve; shape parameter

TP 391

A

1003-0158(2011)05-0020-05

2008-06-03

严兰兰（1982-），女，湖北浠水人，讲师，硕士，主要研究方向为计算机辅助几何设计。