基于小波包框架子带互补特征提取的纹理分割*

王庆香 李迪 张舞杰 叶峰

(华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州510640)

纹理是一种很重要的图像属性，它综合反映了图像的灰度统计信息、空间分布信息与结构信息.纹理分析在计算机视觉和图像处理中占有非常重要的位置，目前广泛应用在工业检测、医学图像分析及遥感图像处理等领域.近年来，在有关纹理图像的研究中出现了很多种纹理分析方法，常见的有统计分析的方法(如共生矩阵法［1］、局部二值模式法［2］、各阶统计矩法［3］)、建模的方法(如马尔科夫随机场法［4］、基于分形的建模法［5］)、信号处理的方法(如Gabor滤波器法［6］、复小波法［7］、小波包法［8-10］).在信号处理方法中，小波多通道滤波器理论是近年来受关注较多的一种［7-12］，常规的小波变换需要降采样信号，在基于像素特征的纹理分割中，利用降采样的小波变换难以实现不同尺度间像素特征的组合.小波包框架变换的滤波器输出信号不被降采样，是适合纹理分割的一种较好的选择.

纹理分割通常包括两个步骤:第1步是抽取一组适当的特征集，所抽取的这组特征集应具有较强相异纹理像素的区分能力;第2步是利用某种聚类方法对所抽取的像素特征集进行聚类分析，以实现每个像素的正确分类.在基于小波包框架分解的纹理分割方法中，第1步需利用小波包框架分解系数来提取特征.常见的纹理特征提取方法有多种，文献［12］利用了1种子带系数特征提取方法，文献［10］利用了3种子带系数特征提取方法，文献［8］利用了5种子带系数特征提取方法.这些特征提取方法仅反映了局部纹理的灰度值统计信息，而丢失了纹理的方向以及邻域像素的依赖关系等信息，因此表达的信息不够充分，以至于有些纹理像素的误分割率较高.文中提出了基于梯度方向直方图均值和标准差的子带系数特征提取方法，在分割纹理时将此方法与像素邻域平均绝对偏差法结合起来用于提取两类典型特征，以形成一个区别能力较强的特征集.实验证明，这两类特征的组合对多数纹理的区分能力较单独的任何一类特征均强，说明这两类特征具有互补性.在第2步的像素聚类方法中，常见的有K均值聚类和模糊c均值聚类.这些聚类算法在聚类过程中仅根据像素的多维特征值进行聚类，而没有考虑像素的空间位置因素，因此往往造成纹理交界处的误分类像素较多.为解决此问题，文中设计了一种改进的空间模糊c均值聚类算法，此算法在聚类时考虑了像素特征值的局部标准差空间分布，应用这种改进的空间模糊c均值聚类方法可减少纹理交界处像素的误分类率.为验证所提出的算法，文中进行了几种实验测试，即Fisher线性判别分析实验、纹理分割实验与算法速度对比测试.

1 小波包框架分解

1.1 小波包框架理论

小波变换是一种多分辨率信号分析方法，在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力.利用小波变换可将图像分解为不同尺度和方向的分量，便于对不同信息做不同的处理，因此小波变换在纹理分析方面十分有用［7-12］.传统的小波变换采用的是一种塔型的信号分解方式，即信号不断地在低频通道上进行分解.一般图像的能量主要集中在低频段，采用这种分解方式比较合理;但有些纹理图像的能量主要集中在中频段，随着分解层数的增加，小波逐渐向低频方向聚焦，因此可能遗漏中频段的信息.小波包分解则能在所有频率范围内聚焦，因此用小波包分解提取纹理图像能量特征更为合适.

式中:p是尺度参数;l是平移参数;m为卷积计算的中间变量;W0=φ(x)，φ(x)为尺度函数;W1=ψ(x)，ψ(x)是小波函数;h和g是正交镜像滤波器组.

不同尺度小波包的逆向反变换关系式为

类似于傅里叶变换，任何函数f(x)∈L2(R)(L2(R)为平方可积空间)都能被分解到小波包基上.这种分解是函数同小波包的简单内积形式.原函数f(x)应用小波包Wr在尺度2p上的重构形式为

式中，

对于离散信号，小波包可以按照下面的形式进行高效的分解:

利用方程(1)和(2)，上一尺度的系数可用式(7)和(8)进行计算:

对于二维的纹理图像信号，可以使用二维小波包进行分解，二维小波包基函数能通过两个沿水平或垂直方向的一维小波包基的内积获得.二维小波包的分解结果可看作完全树结构，在此树结构中每一个父节点都有4个子节点分别对应1个低频信息和3个细节信息(水平、垂直、对角线方向)，每一个节点的分解过程可表示为

式中，［·］↑2q表示以因子2q进行上采样.式(10)表示在每次迭代过程中都对滤波器hq(k)和gq(k)扩张一次.

在每一步的分解过程中，利用上采样所得滤波器与上一级分解信号作卷积可得当前的分解信号，其中每一级的分解复杂度都是相同的.

利用小波包框架分解所得信号具有如下的特点:(1)分解所得的子信号与原始信号的长度相同;(2)由于分解过程中没有对信号进行下采样，分解得到的子信号具有平移不变性;(3)子信号中包含了对原始信号的中频信息的描述.这些特性对于顺利实现基于像素特征的纹理分割都非常重要.

1.2 小波包框架分解子带的选择

利用小波包框架与利用金字塔结构的分解相比，能得到更全面的子带特征，但是随着分解级数的增长，所得到的子带数目也会以指数级增加.为减少后续步骤的计算量，采用恰当的方法选择较优的子带是有必要的.若使用最优基的搜索技术在小波包框架分解结果中选择合适的子带，计算量会很大.为找出合适的子带且使计算过程不至于太复杂，文中采用了一种与文献［12］中M带小波包框架自适应分解算法近似的算法，这种算法的主要依据是子带纹理能量的最大化标准.对于尺寸为L1×L2的图像，某一子带系数T(i，j)的平均能量定义为

实际上，能量的平均幅值是随着分解深度增加而呈指数级增长的.为了在不同尺度间形成统一的衡量标准，文中将各子带的平均能量值乘以因子进行了归一化处理.

在如图1所示的分解过程中，为达到识别重要子带的目的，通道是否进一步分解要根据它能否产生更多的信息决定.原始图像先进行一级分解成为4个子带(没有降采样).对于各子带，若其能量与上一级子带能量的比值大于α，则需进一步分解;或者若其能量与当前尺度所有子带能量的比值大于β，也需进一步分解.这种计算的最大分解级数限制为3级，分解过程中仅保留能量符合要求的子带，结果将形成一套树形结构的小波包基.这种高效的分解方式能将分解结果聚焦到一个合适的频率，且对绝大多数纹理图像的处理性能较好.

图1 纹理图像的非全树结构分解示意图Fig.1 Schematic drawing of incomplete decomposition tree structure for texture image

在上述过程中，α、β值的选取是非常关键的，过小则分解过程中会保留较多的子带，这对纹理分割来说会产生较多冗余信息且后续步骤的计算量也会很大;过大则在后续计算结果中所得到的信息量可能不足，从而导致像素误分割率较高.文中对这两个值的选取进行了多次实验，最终所采用的方法为:先分别计算出第1层的水平和垂直分解系数(即第2和第3个分解系数H、V)能量占据当前尺度总能量(即当前尺度所有子带系数能量之和)的比值β11和β12，然后β取β11与β12二者中的最小值，α则取固定的经验值0.45.此取值方法对于实验中所选纹理图像的处理产生了较好的效果.

2 特征提取

特征提取方法对实现可靠的纹理分类或分割来说至关重要.一种好的特征描述方法应该具有同类像素特征值一致而异类像素差异较大的特性.原始小波分解系数仅代表一种非完整的纹理信息描述，即把纹理信息分成不同的频率成分而不具备局部的统计信息.因此，为了把原始纹理图像区分成不同区域，需要对各分解系数进行一种非线性变换，以使不同类型的纹理具有不同的平均亮度和二阶统计.

目前针对小波包框架分解的特征提取方法有多种.如前所述，文献［8］应用了5种方法来提取分解系数的能量特征，并在纹理分类过程中做了对比实验，结果显示利用平均绝对偏差得到的分类准确率最高;文献［12］在纹理分割实验中仅用了平均绝对偏差特征.文中采用新设计的特征提取方法并与平均绝对偏差特征方法进行比较.平均绝对偏差特征提取方法的描述为:对于子带系数T(i，j)，设以像素(x，y)为中心的局部邻域范围为M1≤i≤M2，N1≤j≤N2，局部邻域像素数为R，局部邻域像素均值为(x，y)，则像素(x，y)平均绝对偏差特征Faad(x，y)的表达式为

为实现更准确的纹理分割，文中基于小波包框架分解与梯度方向直方图运算设计了一种新的纹理测度方法.梯度方向直方图描述子是一种在计算机视觉和图像处理中用来进行物体检测的特征描述子，此描述子利用了图像本身的梯度方向特征，其特征的计算是在一个网格密集且大小统一的细胞单元上进行的.梯度方向直方图描述子的核心思想是:一幅图像中的物体表象和形状可以用梯度或边缘方向的密度分布进行描述.实现方法是先将图像分成称为细胞单元的连通区域，然后采集细胞单元中各像素点的梯度方向或边缘方向直方图，最后把这些直方图组合起来构成特征描述子.文中利用梯度方向直方图的主要目的是进行小波包框架分解系数纹理特征的提取，选用此方法的依据是纹理的特性可通过梯度或边缘的方向密度分布来进行描述.由于应用的目的与通常的物体检测不同，因此计算的过程也不完全一样.文中计算过程省去了归一化的处理步骤，采用了离散梯度水平模板［1 0 0 －1］和垂直模板［1 0 0 －1］T计算梯度值，把360°分成12个方向来统计梯度幅度值.梯度方向直方图计算完成后，若直接应用它作为纹理特征进行聚类，则聚类分析中计算的特征维数将会很大.为减少计算量，文中选用了梯度方向直方图的均值和标准差作为纹理的特征，实验证明这两种特征能够得到较理想的纹理分割效果.这两种纹理特征的表达式分别为:

式中，Hi(i=1，2，…，12)表示子带系数梯度方向直方图，运用这两个特征后小波包框架子带系数梯度方向直方图的12维特征转换为2维的特征.

在平均绝对偏差与梯度方向直方图均值与标准差计算完毕之后，用于像素聚类分析的特征是这两类特征的组合，对于每一个分解子带Bi来说，计算得到的3维特征为FBi={Faad，Fhog1，Fhog2}，设纹理图像X分解为e个子带系数，则其最终用于聚类的特征FB={FB1，FB2，…，FBe}，其维数为 3e.

3 聚类分析

在图像分割中，基于聚类分析的分割方法是具代表性的方法之一.模糊c均值聚类算法是一种常用典型的聚类算法.经典的模糊c均值聚类算法依据最小二乘原理，采用迭代方法优化目标函数，最终获得数据集的模糊划分结果.该方法直接用于图像分割的缺陷在于它仅仅考虑了图像的灰度信息，而忽略了图像中的空间信息.对于前面处理步骤得到的特征集，若直接用模糊c均值聚类算法进行聚类分析，则可以产生一定的纹理区域分割效果，但是有时在相邻两种纹理边界处会出现较大的误分割区域.这种误分割区域会随着前面特征提取中局部处理窗口的增大而增大.文献［13］介绍了一种将像素空间信息引入模糊聚类的方法，这种方法对含有点状噪声的图像分割具有较好的效果，但对于文中的分割并不能减少纹理交界处的误分割率.为了实现较好的纹理分割效果，文中基于文献［13］的方法设计了一种改进的空间模糊c均值聚类算法.文中所设计的聚类算法是基于像素特征的局部空间标准差分布而计算的，其具体过程描述如下.

每一步计算需更新的像素的模糊隶属度为

每一步计算需更新的聚类中心为

4 实验及结果分析

为测试文中所提出的方法对不同纹理的区分能力，设计了3种实验进行测试.第1种是Fisher线性判别分析实验，用以评价文中设计的纹理测度方法对不同纹理的区别能力;第2种是纹理分割对比实验，用以验证所设计的方案在提高纹理分割准确率方面的优势;第3种是运行速度对比实验，用以证明文中方法在纹理分割方面的效率和可用性.

在第1部分实验中，之所以采用Fisher线性判别分析，是因为它是分析特征空间类间区分度的通用方法.Fisher线性判别分析通过优化目标函数来实现，其中，SA和SB分别是类内与类间的散度矩阵，W为投影向量.在此部分的实验中，选取了6幅Brodatz纹理库的图像(D52、D95、D55、D65、D28、D82，如图 2 所示)进行验证，图像灰度为256级，大小为256×256.实验中应用 Daubechies小波中的db2进行小波包框架的分解.所采用处理窗口尺寸为20×20.表1示出了利用3种特征提取方法分别对6幅Brodatz纹理图像进行处理后所得到的45个对应的Fisher线性判别分析值(准则函数G(W)的值)，从表1中可以明显看出，文中所设计的互补特征对不同纹理的区别能力明显高于单独的平均绝对方差特征与梯度方向直方图特征.

图2 Fisher线性判别分析实验所使用的Brodatz纹理图像Fig.2 A set of texture images from Brodatz album used in Fisher linear discriminant experiments

第2部分实验为纹理分割实验，实验选用了Brodatz纹理库图像(D15、D16、D17、D22、D24、D27、D33、D34、D35、D53、D55、D77、D92、D103、D105)，通过合成方式生成了多幅实验图像，图像灰度、大小、所采用的小波及处理窗口尺寸与第1部分实验相同，图3是纹理图像分割对比实验结果中的部分图像，从图3中的分割结果可以看出，利用互补特征所得到的分割结果，在总的分割精度及分割边缘光滑度上都不同程度地优于单独使用另外两种特征的同类分割结果.从表2中的像素分割准确率对比结果也可以看出，利用互补特征的效果明显优于单独使用两种特征，而采用改进的空间模糊c均值聚类方法与采用传统的模糊c均值聚类方法相比，也提高了分割准确率.

表1 6幅Brodatz纹理图像的Fisher线性判别分析结果1)Table 1 Results of Fisher linear discriminant analysis for six images from Brodatz album

为进一步验证所提方法的有效性，文中还对所提方法与文献［10］中方法(提取了小波框架子带系数的3类特征并采用了模糊c均值聚类)的运行速度进行对比，实验环境为配有Intel(R)Core(TM)2 Quad CPU Q9500(2.83GHz)的PC机和Matlab编程软件.由于此类算法中影响速度的主要因素为特征提取方法的类别以及提取的特征数量，因此针对平均绝对偏差方法、梯度方向直方图方法、文中提出的互补特征方法与文献［10］中方法进行了测试.将平均绝对偏差方法、梯度方向直方图方法、文中提出的互补特征方法与文献［10］中方法(这些方法都包括了从小波包框架分解到聚类分析的纹理分割的完整步骤)对10幅256×256大小的纹理图像进行分割，结果显示，这4种方法分割单幅纹理图像所消耗的平均时间依次为7.981、26.536、30.391、38.130s.由此实验结果可看出，文中提出的互补特征方法的运行时间比单一特征方法的长，比文献［10］方法的短，这说明文中方法比文献［10］方法在速度上有一定的优势.虽然文中所采用的互补特征比单一特征的分割速度慢，但它却带来了整体分割准确率的提高，因此，总体来说文中提出的方法是一种较有前途的离线纹理分割方法.

图3 纹理分割实验图像及相应结果Fig.3 Images and results of texture segmentation experiments

表2 不同特征提取与聚类方法得到的纹理分割准确率1)Table 2 Texture segmentation accuracy obtained by different feature extraction and clustering methods %

5 结语

文中为基于小波包框架分解的纹理图像分割提出了新的特征提取方法以及改进的聚类方法.所设计的纹理特征提取方法复杂度不高且具有较好的纹理区分效果，所设计的改进空间模糊c均值聚类算法是基于像素特征的局部标准差空间分布而进行的聚类，在一定程度上减少了纹理交界处的误分割率.采用了多幅Brodtaz纹理图像进行了Fisher线性判别分析实验、纹理分割实验及运行速度测试，结果证实了文中所设计方法的有效性.因所设计特征具有较好的纹理区分能力，所以文中方法将会在纹理分类中有重要的用途.

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