数学建模在高等数学中的应用

左霞

数学建模在高等数学中的应用

左霞

构建高职学生数学建模意识是实现现代高等职业教育培养目标的需要，也是高等数学教学的基本要求。教师要从教材中发掘知识点，培养构建数学建模意识，培养高职生的数学建模意识，为专业发展服务。

高职生；高等数学教学；数学建模意识

培养高职学生的数学建模意识，是高等职业教育高等数学教学的基本要求。为学生运用数学建模思想和方法解决复杂的实际问题打下良好基础意义。

一、融入数学建模思想的必要性

（一）调动学生积极性

在高等数学教学中培养学生建模思想，有助于学习概念，把握事物本质，使学生明确目的，激发学习兴趣。

通过对问题的研究，提高自我发现能力，了解数学本质，提升应用能力，激发学生兴趣，养成良好学习习惯。

（二）培养学生创新能力

通过问题分析，学习数学建模方法，建立数学模型，解决高等数学问题。通过数学建模活动，使学生的各方面能力有所提高，比如经验有所积累、分析问题的能力得到了增强，通过数学建模活动，教师打开了他们的思维空间，培养了创造力，实际应用能力得到了锻炼，培养了学生的创新思维，创新意识和创新能力有机地渗透到教学的全过程，以便获得新型高效的教育实践，实现了从传统教育向创新教育的知识传授。在建模的过程中，注重了创造力的启发，通过讨论法、案例法使数学建模成为了有效的教学手段。

（三）培养学生综合素质

当今，用人单位要求刚参加工作的学生必须具备较高的综合素质，具有分析和解决问题的能力。学生的综合素质其就业和择业有着很大的作用。这就要求高校要注重培养学生综合素质。

数学建模属于小型开发项目，可以培养学生的合作意识，在建模过程中，能做到训练有素，能运用所学知识与实际问题建立数学模型，根据实用要求得出结果和解决方案，通过检验与应用，这种最终结果将得出一个完整的定义。在高等数学教学中要有数学建模的思想，能够提高学生的分析能力、数学的应用能力等各方面的能力，在实际应用中，使学生的各种能力得到培养与提高，比如，这样能够提高创造力，培养想象力等能力，使学生的组织能力与管理能力得到增强，合作意识得到增强

二、数学建模思想的运用

要通过高等数学提高学生的数学素养，学生的数学素质包括多方面的能力，现在有些教科书也不断地编入了与实际问题进行对应的例子、练习。差不多所有的教材中关于对函数极值问题的进行的举例中都是关于对实际应用中的最简单的建模的相关知识。但是，只是了解运算还不行,我们要做到从具体问题中结合已有的数据建立可有应用的模型。例:有一组数据，农村的小康水平是以年人均收入为2000元为标准,实际上这个村共有400人,其中一户全家共4口人，一年进账50万,还有一户也是4口人，家庭进账达到了每年20万。本村2/3的人年收入在300元左右。要判断这种情况是否为小康水平需要做总收入与总人数的除法，这样可以判断为达到小康水平。但是，再从以下几个问题进行分析,有9/10的人均收不足2000元,所以，不能以人均收入估算小康水平。这就要用到概率论，运用其中的人均年收入的标准差a对此标进行推算。标准差系数与平均水平相差太多，不被列为小康水平的标准。可见，要把高等数学与实际应用相结合。以导数概念为例：

（一）引例

模型1:研究做变速直线运动时的瞬时速度问题。（1）设计问题:对做变速运动的物体做设想,它在任意时刻的瞬时速度用什么方法求到。（2）建立模型。

问题的分析:利用求匀速运动在某一时刻的速度公式:S=vt，对问题进行分析:物体做变速运动时，它的速度会出现不间断的变化,当时间的变化太小,可假设为匀速直线的运动。比如:研究一个做变速直线运动的物体,对它的整个运动过程进行研究,由于它是做直线运动的,在一个特定的时刻,都有一个位移，所以，位移与时间之间就产生了这个公式:s=s(t)。从而得到了位移的公式。假设在t0时刻，对物体的位置进行确定就得到了S=s(t0)。如果在这一时刻，时间上多一点时间，可以记为t,所对就的物体的位置成为S=(t0+△t):这里的位移增加了△S=S(t0+△t)-S(t0)。所以得到了物体在△t0，那么计算在t0+△t这瞬间的平均速度，还可以进行这种假设，当变化时间非常小的时候,速度可看作物体在t0这一瞬间的瞬时速度。

这样，对物体运动的位移函数s=s(t)作为已知的条件,可以求证到物体运动到任意时刻的瞬时速度，这就是所建立的数学模型。

模型2:对非恒定电流的强度进行研究。把0到t这段时间通过某一导体的横截面的电量为Q=Q(t)，把这一条件作为已知的问题，研究t0时刻通过导体的电流强度为多少的问题。在对这一模型进行研究时,学生们可以利用 建立模型1的具体方法对模型1进行研究，用建立模型1的步骤建立数学模型2。

（二）导数概念

如果当△x接近于0的时候，就得到了极限，通过极限值就得到了函数y=f(x)中，方便于求某一点的导数。相当于对于函数y=f(x)在一个固定的点可导,这一般情况下被写为f′(x)，根据导数的定义,对这两个问题可以归结为:(1)变速直线运动在t0瞬间的点速度,就是位移S在t0时刻的导数。一般被写作：vt0=S′(t0)。

非恒定电流在瞬间t0时刻的电流强度,是电量函数Q=Q(t)在某点的导数。即It0=Q′(t0)。

根据导数的定义,可以对一组组的求导公式进行推导。根据求导公式和求导法则,大家再去求前边的模型就更方便了。比如，可以利用模型2的推导求模型1的解。还可以利用建立的模型求出现实生活中的其它模型的解，比如自由落体运动的求解。

（三）模型验证

以上结果与物理上得出的结果是一样的所以对以上所建立模型是否正确做出了有力的验证。

（四）模型推广

了解数学建模步骤，懂得函数变化率。于是进一步懂得：求一个函数在某个瞬间变化率的事情，可以利用导数得到解，但是对以前的模型没有重复。这里的概念教学渗透数学建模意识，在教学练习中运用建模思想和方法。

在高等数学的教学中要建立数学建模的思想，其主要目标是通过对数学进行建模，使容易接受当堂课的教学内容，培养创新精神，树立科研信心，学生们通过对数学建模的应用，提高解决实际问题的能力，使这种思路和方法运用的更广。

三、数学建模思想的渗透途径

（一）引入模型，开阔视野，激发兴趣

绪论课通常是高职学生刚开始对高等数学课程进行学习，教师要在开始阶段注意提高学生的兴趣,让他们能够树立学好高等数学的信心,注意第一堂课的决定作用，给学生讲好第一堂课。

在现阶段的数学教育中，学生对数学有所误解，应该从观念上改变他们的看法，需要有的放矢地培养兴趣，激发学生的求知欲。通过实践教学法、案例教学法是最能体现数学建模思想的。给学生设计一些受欢迎的问题，如:在高低不平的地面上椅子能不能放平，对易拉罐进行设计等，这种能够激发学生的好奇心，活跃课堂气氛，开拓眼界的问题。学生们在解决这些问题过程中建立了良好的学习动机，奠定了良好的心理基础，使数学建模在高等数学教学活动中发挥更大的作用。

（二）在数学概念中渗透数学建模思想

数学中，大多数的概念问题涉及到客观事物的数量关系和空间形式，通过生产与生活而总结出的定理以及对它的应用是重视了生活中的实际问题,对抽象的数学概念的学习中，让学生在学习中了解到数学概念是因为需要而产生的。

在随后的章节，选择适当的一些实际问题，引导学生进行分析，通过抽象，简化，假设，变量，参数，建立数学模型，解决数学问题。根据不同的内容选择不同的数学模型、案例教学以激发学生观察思维，建立数学模型。编制的案例要遵循客观，有趣、有代表性、科学合理的原则。

（三）渗透数学建模思想的评价

考试由单一的闭卷考试转变为多样化的测试。公平公正，尊重能力。充分体现学生各方面的创造力，除了考试基本知识，也可以是部分与实际生活相关的开放性试题。

[1]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材[M].长沙:湖南教育出版社.1997.

[2]韦健,赵翌.数学建模中的创造性思维[J].佳林师范高等专科学校学报,2007（4）.

[3]王怀友.谈高等数学教学中数学建模思想的渗透[J].理论界，2008（10）.

G642.1

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1673-1999（2011）24-0178-02

左霞（1982-），女，山西大同人，山西大同职业技术学院（山西大同 037003）助教。

2011-11-05