输油管的布置模型

张德全

（桂林航天工业高等专科学校，广西 桂林 541004）

输油管的布置模型

张德全

（桂林航天工业高等专科学校，广西 桂林 541004）

管线费用；中位数；最优；最优方案

2010年全国大学生数学建模竞赛 C题是“输油管的布置”，其关键问题是：（1）三家工程咨询公司对附加费用进行估计，分别为21、24、20（万元/千米），由于这三家工程咨询公司资质不同，选择切合实际的附加费用才能给出输油管布置的最优方案；（2）针对题目的要求，可以建立管线费用不同的最优模型，而最终应给出管线费用统一的最优模型；（3）其最优方案还要考虑管线的美观性。文章选取中位数21（万元/千米）作为附加费用，建立了管线费用统一的最优模型，得到管线最少费用在区间[249.4422万元，252.8104万元]内，并考虑到管线与城区分界线以及铁路之间的布局的合理性、美观性与和谐性，确定出最优方案的其他三个选择方案。

（一）问题重述与模型假设

1.问题重述

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用（以下简称管线费用）最省的一般数学模型与方法。要求：（1）针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形；（2）设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图1所示，其中A厂位于郊区（图1中的I区域），B厂位于城区（图1中的II区域），两个区域的分界线（以下简称城区分界线）用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。公司一、公司二、公司三附加费用（万元/千米）估算结果分别为21、24、20，要求为设计院给出管线布置方案及相应的费用；（3）在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

图1

2.模型假设和符号约定

根据题目的要求，有以下假设和符号约定：

（1）铁路为一几何线而不计宽度。设计路线时，不考虑管道转弯角度以及地面坡度，不考虑地质情况以及气候条件等影响；管线按直线铺设，除所给不同费用外，不再考虑其他费用，并约定管线建设费用简称为管线费用，两个区域的分界线简称为城区分界线，拆迁和工程补偿等附加费用简称为附加费用。

（3）P表示炼油厂A和炼油厂B输送管线接点，如图5所示，Q表示车站，当 PQ= 0时，P点和Q点重合；F表示城区分界线与铺设管线的交点。

（二）模型的建立与求解

1.附加费用 按中位数选取

平均数分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数和众数。而平均数又有简单平均数和加权平均数之分。若按简单算术平均数计算，≈ 21.6667。从本题可看到，使用加权算术平均数才能反映实际情况。但题目没有给出权数，若咨询公司按具有甲级资质、乙级资质定义权重分别为 0.6和 0.4（其他级别资质咨询公司权重忽略不计）计算，即可反映乙级资质咨询公司的一般估算水平。的取值与中位数21很接近。从数据资料来看，极大值24影响了平均数，而具有甲级资质的咨询公司更具有权威性，因此取中位数21较合适，具有较高的代表性。

2.最小管线费用模型的建立

（1）P点在矩形区域MGEC内

如果P点在矩形MGEC区域之外（见图 2），简单的计算就可以判断其之外任意一点建立模型，所用相应管线长度大于矩形内建立模型所用管线长度，使费用提高，所以P点在矩形区域MGEC内。

（2）P=Q，所有管线的铺设费用相同均为7.2（万元/千米）时的模型利用勾股定理容易得到（见图3）模型为：

图2

图3

用Mathematical软件计算得解为：

（3）输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油每千米6.0万元，附加费用取λ=21时的模型

（4）输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，附加费用λ=21，共用管线费用为每千米7.2万元， P, F, B三点在一直线上时的模型P点的情况有两种，见图4和图5。

图4

图5

（5）输送A厂成品油每千米5.6万元，输送B厂成品油每千米6.0万元，附加费用λ=21，共用管线费用为每千米7.2万元， P, F, B三点不在一直线上时的模型

P点的情况有两种，见图6和图7：

图6

图7

用LINGO软件计算得解为：

（三）模型的统一和 取20、21、24以及按简单算术平均数21.6667计算的最优值列表

1.统一模型

根据以上计算可知，可以把以上四个模型统一为模型：

由统一模型Ⅴ，使用LINGO软件，容易计算 取20、21、24、21.6667时的最优值，其中21.6667是按简单算术平均数计算得出的值，列表如下：

表1 取20、21、24、21.6667时最优值表

表1 取20、21、24、21.6667时最优值表

工程咨询公司 资质 附加费用λ（万元/千米） x y z 最优值（万元）minS(x,y,z)公司一 甲级 21 6.7423 0.1327 7.2659 249.4422公司二 乙级 24 6.8065 0.8639 7.1642 256.6524公司三 乙级 20 6.7606 0.1195 7.2370 244.3865按简单平均数λ＝21.6667计算 21.6667 6.7310 0.1409 7.2839 252.8104

（四）在λ=21时，其它最优方案的计算与分析

以上计算来看只考虑了问题的最优解，得到y=0.132千米，z＝7.266千米，但是没有考虑管线和城区结合线以及与铁路之间的布局的合理性，美观以及与自然的和谐性。可以看到，y=0千米， z=8千米时比最优解更好，这时输油车站建在铁路线上。以下对四个特殊情况进行计算，并与=21时的最优解进行比较和分析。

1.y=0且BF与EF平行的情况

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用1.697万元。

图8

图9

2. y≥ 0且BF与EF平行的情况

因为BF与EF平行，见如图9，所以z=8，应用最优模型Ⅳ，即

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用0.432万元。

因为BF与EF平行见如图9，所以z=8，应用最优模型Ⅳ，即

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用12.020万元。

图10

图11

4. x=0且BF与EF平行的情况

这个结果比最优结果249.442万元多增加费用13.340万元。

5.四种特殊方案的分析

从以上结果来看，方案 1与最优结果比较仅仅增加费用不超过 1.697万元，比最优方案花费增加不多，并且输油车站建在铁路线上，这是个不错的选择。方案 2中y=0.467千米，可合并为方案 1。若考虑管线与城区结合线和铁路之间的布局的合理性、美观以及与自然的和谐性，也可以选择方案3（图10）和方案4（图11）。因此方案1（图8）、3（图10）、4（图11）是最优方案的其他选择方案。

（五）模型的评估与分析

模型比较符合实际，直观，便与应用；2.得到统一模型Ⅴ和模型Ⅵ，使得模型Ⅰ，模型Ⅱ，模型Ⅲ，模型Ⅳ均为参数α , β, λ, μ取不同值的特殊情况；考虑了布局的合理性、美观性，给出了特殊情况下管道费用，并与最优解比较，确定出最优方案的其他选择三个方案；选取中位数21万元作为附加费用 的值，与实际最优值最接近，但也会有一定的误差。

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O223

A

1008-1151(2011)03-0047-04

2011-01-08

广西壮族自治区教育厅“新世纪教改工程”课题(桂教高教[2006]194 号) , 广西教育科学“十一五”规划2010年度立项课题（桂教科学[2010]8号）

张德全（1959－），男，河南漯河人，桂林航天工业高等专科学校计算机系教授，研究方向为数学教育、组合数学。