k个矩阵的核子空间的和的维数

左可正， 谢 涛

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002）

k个矩阵的核子空间的和的维数

左可正， 谢 涛

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石 435002）

利用齐次线性方程组的解的表达式及分块矩阵的一个秩等式，得出了k个矩阵的核子空间的和的维数的一个公式，它推广了维数公式.并给出了这个公式的几个应用.

核子空间；值域；秩；维数

1 引言及预备引理

本文恒设F是特征为0的域.用Fm×n表示F上的所有m×n矩阵组成的集合，Fn表示F上的n维列线性空间.设A∈Fm×n，用r（A），R（A），N（A）和A－分别表示A的秩，值域，核子空间和广义逆（AA－A＝A）.用I n表示n级的单位矩阵.用F［x］表示域F上的x的一元多项式环.

在线性代数中，有一个下面众所周知的维数公式：

其中V1，V2是域F上的有限维线性空间V的两个子空间.

本文将公式（1.1）进行了推广，得出了

其中A1∈Fm1×n，A2∈Fm2×n，…，A k∈Fmk×n.并给出了这个公式的几个应用.

为了证明（1.2）式，需要下面的引理1与引理2.

为了给出公式（1.2）的几个应用，我们还需要下面的引理.这个引理的结论，本身给出了两个有趣的秩等式.

引理3设

f1（x），f2（x），…，f k（x）是两两互质的，A∈Fn×n，那么

证 先用数学归纳法证明（1.5）式.

当k＝2时，因为f1（x），f2（x）是互质的，那么存在u（x），v（x）∈F［x］，使得

归纳假设k－1时（1.5）式成立，当为k时.由归纳假设及f1（x）f2（x）…f k－1（x）与f k（x）互质，我们得出

由数学归纳法，（1.5）式成立.

下面用数学归纳法证明（1.6）式.

归纳假设k－1时（1.6）式成立.当为k时，因为f1（x），f2（x），…，f k（x）是两两互质的，那么f1（x）与f2（x）f3（x）…f k（x）是互质的.这样存在u1（x），v1（x）∈F［x］，使得

由于

2 主要结果及其应用

由（2.5）式和（2.6）式及推论2，得出

下面利用推论2及引理3，来给出两个高等代数考研试题的证明.

例1（2007年大连理工大学高等代数考研试题） 设V1，V2是x1＋x2＋…＋x n＝0和x i－x i＋1＝0，i＝1，2，…，n－1的解空间.证明：

［1］Ben－Israel A，Greville T N G.Generalized inverses：Theory and Applications［M］.2nd.New York：Springer，2003.

［2］Marsaglia G，Styan G P H.Equalities and inequalities for ranks of matrices［J］，Linear and Multilinear Algebra，1974（2）：269－292.

［3］北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数［M］.北京：高等教肓出版社，2003.

The Dimension of the Sun of Nullspaces of k Matrices

ZUOKe－zheng，XIETao
（Department of Math of Hubei Normal University，Huangshi，Hubei，435002，China）

By using the expression of the solution of some homogeneous linear equations and a rank equlity of partitioned matrices，a formular of the dimension of the sun of nullspaces ofkmatrices is obtained，which generalized dimension formular，and some applications of the formular are given.

nullspace；range；rank；dimension

O151.21

A

1672－1454（2011）04－0128－05

2008－12－04

湖北师范学院教研项目（21）