一类非齐次微分方程解的级与零点

蒋业阳,陈宗煊

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

一类非齐次微分方程解的级与零点

蒋业阳,陈宗煊*

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

在方程系数A0的型起控制作用的条件下,研究了高阶非齐次线性微分方程f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z)解的增长性,得到了上述微分方程解的增长级和零点的一些精确估计.

微分方程; 型; 超级; 零点收敛指数

1 引言与结果

本文使用值分布理论的标准记号,并用σ(f)和(f)分别表示亚纯函数f(z)的增长级和型,定义[1-2]如下

如果f(z)是整函数,那么

用σ2(f)表示亚纯函数f(z)的超级,定义[3]如下

若f(z)是整函数,则还有

关于高阶线性微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A0f=0,

(1)

当方程的系数Aj(j=0,1,…,k-1)为整函数时,方程(1)的每个解都是整函数.如果方程(1)的系数A0的增长级起控制作用即满足σ(A0)>max{σ(Aj),j=1,…,k-1},那么方程(1)的每个非零解f具有无穷级,即

定理A[4]假设A0,A1,…,Ak-1是整函数,满足条件max{σ(Aj),j=1,…,k-1}<σ(A0)<∞,那么方程(1)的每个非零解f满足σ2(f)=σ(A0).

当方程(1)的系数A0的增长级不是唯一的最大,但是A0的型起控制作用时,仍有相同的结论:

定理B[5]假设A0,A1,…,Ak-1为有限级整函数,A0(z)为超越整函数,满足条件:

(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},

(2)当σ(Aj)=σ(A0)时,

(Aj)<(A0)<∞ (j=1,…,k-1),

那么方程(1)的每个非零解f满足σ2(f)=σ(A0).

本文的主要目的是将定理B作推广,由齐次推广到非齐次,考虑非齐次线性微分方程

f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z),

(2)

得到了下面的定理:

定理1 假设A0,A1,…,Ak-1,F(z)≢0为有限级整函数,A0(z)为超越整函数,满足条件:

(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},

(2)如果σ(Aj)=σ(A0),有

(Aj)<(A0)≤∞ (j=1,…,k-1),

2 证明所需的引理

(3)

exp{-rα+ε}≤|f(z)|≤exp{rα+ε}.

(4)

引理3[8]假设Aj(j=0,1,…,k-1)是整函数,且满足max{σ(Aj),j=0,1,…,k-1}≤σ<+∞,那么方程(1)的所有解f满足σ2(f)≤σ.

引理4 设f(z)是超越整函数满足σ(f)=σ<∞,(f)=≤∞,那么对任意的β<,存在一个对数测度为无穷的集合H⊂[1,+∞),使得对所有的rH,有logM(r,f)>βrσ.

证明当(f)=<∞时,就是文献[5]中的引理5中迭代级p=1的情形.下面可用文献[5]中的类似方法证明当(f)==∞时引理也成立.

对任意给定的β

logM(r,f)>βrσ.

引理5 假设A0,A1,…,Ak-1为有限级整函数,A0(z)为超越整函数,满足条件：

(1)σ(A0)≥max{σ(Aj),j=1,…,k-1},

(2)如果σ(Aj)=σ(A0),有(Aj)<(A0)≤∞(j=1,…,k-1),

那么方程(1)的每个非零解f满足σ2(f)=σ(A0).

证明当(A0)=<∞时,即为定理B.下面用文献[5]中的类似方法证明当(A0)==∞时引理也成立.

假设f(z)是方程(1)的非零解,由方程(1),有

(5)

由引理1可知,存在一个具有有穷对数测度的集合E1⊂(1,+∞)和一个常数B>0,使得

(6)

|Aj|≤exp{rα1} (j≠0),

(7)

其中α1(<σ)为常数.如果整函数Aj(j≠0)满足σ(Aj)=σ,(Aj)<∞,我们可以选取实数β1和β2满足max{(Aj),j=1,…,k-1}<β1<β2<∞,由引理4,存在一个具有无穷对数测度的集合H⊂(1,+∞),使得对充分大的rH,有

M(r,A0)>exp{β2rσ},

(8)

对于满足σ(Aj)=σ,(Aj)<∞的整函数Aj,有

M(r,Aj)

(9)

exp{β2rσ}≤kexp{β1rσ}[T(2r,f)]2k.

(10)

另一方面，由引理3有σ2(f)≤σ.故σ2(f)=σ=σ(A0).

3 定理的证明

由引理5知,方程(2)对应的齐次方程(1)的所有解都满足σ2(f)=σ(A0).现在假定f1,…,fk是非齐次线性方程(2)所对应的齐次方程(1)的基础解集,则σ2(fi)=σ=σ(A0) (i=1,…,k).由常数变易法,方程(2)的解f可表示成

f(z)=B1f1+B2f2+…+Bkfk,

(11)

其中B1,B2,…,Bk由下列方程组决定:

由Wronsky行列式W(f1,…,fk)为f1,…,fk及其导数的微分多项式,且其系数均为常数,可得σ2(W)≤σ2(fi)=σ(A0).令

max{σ2(F),σ2(fi),i=1,…,k}=σ=σ(A0).

(12)

由式(11)和式(12),有σ2(f)≤max{σ2(Bj),σ2(fi),i=1,…,k}=σ=σ(A0).

下面断言方程(2)至多有一个例外解f0满足σ2(f0)<σ(A0).

事实上,若方程(2)有另一个解f*,使得σ2(f*)<σ(A0),则σ2(f0-f*)<σ(A0).但f0-f*是方程(2)所对应的齐次方程(1)的解,这与齐次方程(1)的每个非零解f都满足σ2(f)=σ(A0)矛盾.

因此,微分方程(2)的每个解f均满足σ2(f)=σ(A0),至多有一个例外.

和

(13)

由方程(2)有

(14)

从而

(15)

由式(13)～(15),有

(16)

对于|z|=r至多除去一个具有有穷线性测度的集合E4外成立,其中M(>0)是一个合适的常数.因为

(17)

(18)

由式(16)～(18),有

(19)

[1] HAYMAN W K.Meromorphic functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2] 杨乐.值分布论及其新研究[M].北京：科学出版社,1982.

[3] 仪洪勋,杨重骏.亚纯函数的唯一性理论[M].北京：科学出版社,1995.

[4] CHEN Zongxuan,YANG Chungchun.Quantitative estimates on the zeros and growths of entire solutions of linear differential equations[J].Complex Variables,2000,42:119-133.

[5] 涂金,邓冠铁.系数A0起控制作用的高阶线性微分方程解的增长性[J].数学物理学报,2010,30(4):945-952.

TU Jin,DENG Guantie.Growth of solutions of higher order linear differential equations with the coefficientA0being dominant[J].Acta Mathematica Scientia,2010,30(4):945-952.

[6] GUNDERSEN G.Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function plus similar estimates[J].J London Math Soc,1988,37(2):88-104.

[7] CHEN Zongxuan.On the hyper order of solutions of some second order linear differential equations[J].Acta Mathematica Sinica,2002,18(B):79-88.

[8] CHEN Zongxuan.On the hyper order of solutions of higher order differential equations[J].Chin Ann Math,2003,24B(4):501-508.

Keywords： differential equation; type; hyper order; the exponents of the zero-sequence

【责任编辑 庄晓琼】

THEGROWTHANDZEROSOFSOLUTIONSFORACLASSOFNONHOMOGENEOUSDIFFERENTIALEQUATION

JIANG Yeyang，CHEN Zongxuan

(School of Mathematics,South China Normal University,Guangzhou 510631,China)

The growth of solutions of a class of higher order nonhomogeneous linear differential equationf(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A0(z)f=F(z) is investigated, under the condition that the equation is controlled by the type of the coefficientA0,and some accurate estimates of the growth and zeros are obtained for the entire solutions of this differential equation.

2009-09-29

国家自然科学基金项目(10871076)

*通讯作者,chzx@vip.sina.com

1000-5463(2011)02-0020-03

O174.52

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